Většina hliněných tabulek, které popisují babylonskou matematiku, patří do starobabylonského období, proto se matematika Mezopotámie běžně nazývá babylonská matematika. Některé hliněné tabulky obsahují matematické seznamy a tabulky, jiné obsahují úlohy a vypracovaná řešení.
AritmetikaEdit
Babylóňané používali předpočítané tabulky jako pomůcku při aritmetice. Například dvě tabulky nalezené v Senkerahu na Eufratu v roce 1854, datované do roku 2000 př. n. l., uvádějí seznamy čtverců čísel do 59 a kostek čísel do 32. V těchto tabulkách jsou uvedeny i čísla, která se dají vynásobit. Babylóňané používali seznamy čtverců spolu se vzorci:
a b = ( a + b ) 2 – a 2 – b 2 2 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}}{2}}}}}
a b = ( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 4 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}}}
pro zjednodušení násobení.
Babylóňané neměli algoritmus pro dlouhé dělení. Místo toho založili svou metodu na tom, že:
a b = a × 1 b {\displayystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}
spolu s tabulkou reciprokých čísel. Čísla, jejichž jedinými prvočiniteli jsou 2, 3 nebo 5 (tzv. pěticiferná nebo regulární čísla), mají v sexagesimálním zápisu konečné reciprocity a byly nalezeny tabulky s rozsáhlými seznamy těchto reciprocit.
Reciprocity jako 1/7, 1/11, 1/13 atd. nemají v sexagesimálním zápisu konečné vyjádření. Pro výpočet 1/13 nebo pro dělení čísla 13 by Babyloňané použili aproximaci, například:
1 13 = 7 91 = 7 × 1 91 ≈ 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600 . {\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\krát {\frac {1}{91}}\přibližně 7\krát {\frac {1}{90}}=7\krát {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.
AlgebraEdit
Babylonská hliněná tabulka YBC 7289 (cca 1800-1600 př. n. l.) uvádí aproximaci √2 ve čtyřech sexagesimálních číslicích 1;24,51,10, která je přesná přibližně na šest desetinných míst a je nejbližší možnou třímístnou sexagesimální reprezentací √2:
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 = 1,41421 296 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.
Babylonští matematici kromě aritmetických výpočtů vypracovali také algebraické metody řešení rovnic. Ty opět vycházely z předem vypočtených tabulek.
K řešení kvadratické rovnice používali Babyloňané v podstatě standardní kvadratický vzorec. Uvažovali kvadratické rovnice ve tvaru:
x 2 + b x = c {\displaystyle \ x^{2}+bx=c}
kde b a c nemusely být celá čísla, ale c bylo vždy kladné. Věděli, že řešením tohoto tvaru rovnice je:
x = – b 2 + ( b 2 ) 2 + c {\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}}\right)^{2}+c}}}}.
a efektivně našli odmocniny pomocí dělení a průměrování. Vždy používali kladnou odmocninu, protože to dávalo smysl při řešení „reálných“ problémů. K úlohám tohoto typu patřilo i hledání rozměrů obdélníku daného jeho plochou a množstvím, o které délka převyšuje šířku.
K řešení některých kubických rovnic používali tabulky hodnot n3 + n2. Uvažujme například rovnici:
a x 3 + b x 2 = c . {\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}
Násobením rovnice a2 a dělením b3 dostaneme:
( a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 . {\displaystyle \left({\frac {ax}{b}}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.}
Substituce y = ax/b dává:
y 3 + y 2 = c a 2 b 3 {\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}
což by se nyní dalo vyřešit nahlédnutím do tabulky n3 + n2 a nalezením hodnoty nejbližší pravé straně. Babyloňané toho dosáhli bez algebraického zápisu, což svědčí o pozoruhodné hloubce porozumění. Neměli však metodu pro řešení obecné kubické rovnice.
RůstUpravit
Babylóňané modelovali exponenciální růst, omezený růst (prostřednictvím určité formy sigmoidních funkcí) a dobu zdvojnásobení, přičemž posledně jmenovanou modelovali v souvislosti s úrokem z půjčky.
Hliněné tabulky z doby cca 2000 př. n. l. obsahují úlohu „Při úrokové míře 1/60 za měsíc (bez složení) vypočítejte dobu zdvojnásobení.“. Výsledkem je roční úroková sazba 12/60 = 20 %, a tedy doba zdvojnásobení 100 % růstu/20 % růstu za rok = 5 let.
Plimpton 322Edit
Tabulka Plimpton 322 obsahuje seznam „pythagorejských trojic“, tj. celých čísel ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)}.
takových, že a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.
. těchto trojic je příliš mnoho a jsou příliš velké na to, aby se daly získat hrubou silou.
Na toto téma bylo napsáno mnoho, včetně některých spekulací (možná anachronických), zda tabulka mohla sloužit jako raná trigonometrická tabulka. Je třeba dbát na to, abychom na tabulku pohlíželi z hlediska metod, které byly tehdejším písařům známé nebo dostupné.
Otázka „jak se na tabulce počítalo?“ nemusí mít stejnou odpověď jako otázka „jaké problémy tabulka stanovuje?“. Na první lze nejuspokojivěji odpovědět pomocí vzájemných dvojic, jak bylo poprvé navrženo před půl stoletím, a na druhou pomocí nějakého druhu pravoúhlých úloh.
(E. Robson, „Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322“, Historia Math. 28 (3), s. 202).
GeometrieEdit
Babylóňané znali běžná pravidla pro měření objemů a ploch. Obvod kruhu měřili jako trojnásobek průměru a plochu jako jednu dvanáctinu čtverce obvodu, což by bylo správné, kdybychom π odhadli na 3. Byli si vědomi, že jde o přibližnou hodnotu, a jedna starobabylónská matematická tabulka vykopaná u Sús v roce 1936 (datovaná do 19. až 17. století př. n. l.) uvádí lepší přibližný údaj π jako 25/8 = 3.125, což je asi o 0,5 % méně než přesná hodnota.Objem válce se bral jako součin podstavy a výšky, avšak objem kuželu nebo čtvercového jehlanu se nesprávně bral jako součin výšky a poloviny součtu podstav. Pythagorovu větu znali i Babyloňané.
„Babylonská míle“ byla mírou vzdálenosti rovnající se přibližně 11,3 km (neboli asi sedmi moderním mílím). tato míra pro měření vzdáleností byla nakonec převedena na „časovou míli“ používanou pro měření dráhy Slunce, tedy představující čas.
Starověcí Babyloňané znali věty o poměrech stran podobných trojúhelníků po mnoho staletí, ale chyběl jim pojem úhlové míry, a proto místo toho studovali strany trojúhelníků.
Babylonští astronomové vedli podrobné záznamy o východu a západu hvězd, pohybu planet a zatměních Slunce a Měsíce, což vyžadovalo znalost úhlových vzdáleností měřených na nebeské sféře.
K výpočtu efemerid (tabulek astronomických poloh) používali také určitou formu Fourierovy analýzy, kterou v 50. letech 20. století objevil Otto Neugebauer. Pro výpočty pohybů nebeských těles používali Babyloňané základní aritmetiku a souřadnicový systém založený na ekliptice, tedy části oblohy, po které se pohybují Slunce a planety.
Tabulky uložené v Britském muzeu dokládají, že Babyloňané šli dokonce tak daleko, že měli představu o objektech v abstraktním matematickém prostoru. Tabulky pocházejí z let 350 až 50 př. n. l. a odhalují, že Babylóňané chápali a používali geometrii ještě dříve, než se dosud předpokládalo. Babyloňané používali metodu odhadu plochy pod křivkou tak, že pod ní nakreslili lichoběžník, což je technika, o níž se dříve předpokládalo, že pochází z Evropy 14. století. Tato metoda odhadu jim umožňovala například zjistit vzdálenost, kterou Jupiter urazil za určitý čas.