Co je matematika?Matematika je stará, široká a hluboká disciplína (obor). Lidé, kteří usilují o zlepšení matematického vzdělávání, musí pochopit, „co je to matematika?“ |
|
Poučka z historie
Matematiku jako formální oblast výuky a učení vyvinuli asi před 5 000 lety Sumerové. Učinili tak ve stejné době, kdy rozvíjeli čtení a psaní. Kořeny matematiky však sahají mnohem dále než 5 000 let zpátky.
V průběhu své historie se lidé potýkali s potřebou měřit a komunikovat o čase, množství a vzdálenosti. Kost z Išanga (viz ahttp://www.math.buffalo.edu/mad/
Ancient-Africa/ishango.html a http://www.naturalsciences.be/expo/ishango/
en/ishango/riddle.html) je kostěná rukojeť nástroje stará přibližně 20 000 let.
Obrázek 1
Níže uvedený obrázek ukazuje sumerské hliněné žetony, jejichž používání začalo přibližně před 11 000 lety (viz http://www.sumerian.org/tokens.htm). Takové hliněné žetony byly předchůdcem čtení, psaní a matematiky.
Obrázek 2
Rozvoj čtení, psaní a formální matematiky před 5 000 lety umožnil kodifikaci matematických znalostí, formální výuku matematiky a zahájil soustavné hromadění matematických znalostí.
Matematika jako disciplína
Disciplína (organizovaný, formální obor studia), jako je matematika, bývá definována typy problémů, které řeší, metodami, které k řešení těchto problémů používá, a výsledky, kterých dosáhla. Jedním ze způsobů, jak tento soubor informací uspořádat, je rozdělit jej do následujících tří kategorií (samozřejmě se vzájemně překrývají):
- Matematika jako lidské úsilí. Vezměme například matematiku měření času, jako jsou roky, roční období, měsíce, týdny, dny atd. Nebo vezměte v úvahu měření vzdálenosti a různé systémy měření vzdálenosti, které se vyvinuly po celém světě. Nebo se zamyslete nad matematikou v umění, tanci a hudbě. Existuje bohatá historie lidského vývoje matematiky a jejího využití v naší moderní společnosti.
- Matematika jako obor. Znáte spoustu akademických disciplín, jako je archeologie, biologie, chemie, ekonomie, historie, psychologie, sociologie atd. Matematika je široká a hluboká disciplína, která se stále rozšiřuje a prohlubuje. V dnešní době je doktorská výzkumná práce v matematice obvykle úzce zaměřena na definice, tvrzení a důkazy týkající se jednoho problému v úzkém podoboru matematiky.
- Matematika jako interdisciplinární jazyk a nástroj. Stejně jako čtení a psaní je matematika důležitou součástí učení a „dělání“ (používání svých znalostí) v každém akademickém oboru. Matematika je natolik užitečným jazykem a nástrojem, že je v našem formálním vzdělávacím systému považována za jeden ze „základů“.
Do značné míry mají studenti a mnozí jejich učitelé tendenci definovat matematiku v termínech toho, co se učí v matematických kurzech, a tyto kurzy se obvykle zaměřují na č. 3. Matematika je také jedním ze základů matematiky. Výuka a hodnocení bývají zaměřeny na základní dovednosti a na řešení relativně jednoduchých problémů s využitím těchto základních dovedností. Jak naznačuje výše uvedená diskuse o třech složkách, jedná se pouze o část matematiky.
Až v rámci třetí složky není jasné, na co by měl být v učebních osnovách, výuce a hodnocení kladen důraz. Otázka základních dovedností versus dovedností vyššího řádu je v matematickém vzdělávání obzvláště důležitá. Kolik času v matematickém vzdělávání by mělo být věnováno tomu, aby žáci získali vysokou úroveň přesnosti a automatičnosti v základních výpočetních a procedurálních dovednostech? Kolik času by mělo být věnováno dovednostem vyššího řádu, jako je kladení problémů, reprezentace problémů, řešení komplexních problémů a přenos matematických znalostí a dovedností na problémy v jiných než matematických oborech?“
Krása matematiky
Relativně málo učitelů K-12 studuje matematiku natolik, aby pochopili a ocenili šíři, hloubku, složitost a krásu této disciplíny. Matematici často hovoří o kráse určitého důkazu nebo matematického výsledku. Vzpomínáte si, že by některý z vašich učitelů matematiky v K-12 někdy mluvil o kráse matematiky?“
G. H. Hardy byl jedním z předních světových matematiků první poloviny 20. století. Ve své knize „Apologie matematika“ se obšírně zabývá rozdíly mezi čistou a aplikovanou matematikou. Rozebírá dva příklady (krásných) problémů čisté matematiky. Jedná se o problémy, které by někteří studenti středních škol a gymnázií mohli dobře vyřešit, ale jsou zcela odlišné od typů matematiky, kterými se zabývají naše současné osnovy K-12. Oba tyto problémy byly vyřešeny před více než 2000 lety a jsou reprezentativní pro to, čím se matematici zabývají.
- Racionální číslo je takové, které lze vyjádřit jako zlomek dvou celých čísel. Dokažte, že odmocnina z čísla 2 není racionální číslo. Všimněte si, že odmocnina z 2 vzniká přirozeným způsobem, když člověk používá zeměměřičské a tesařské techniky.
- Prvočíslo je kladné celé číslo větší než 1, jehož jedinými kladnými celočíselnými děliteli jsou ono samo a 1. Dokažte, že existuje nekonečný počet prvočísel. V posledních letech se ukázalo, že velmi velká prvočísla jsou docela užitečná při šifrování elektronických zpráv.
Řešení problémů
Následující schéma lze použít k diskusi o znázornění a řešení aplikovaných matematických problémů na úrovni K-12 let. Tento diagram je zvláště užitečný při diskusích o současných učebních osnovách matematiky K-12.
Obrázek 3
Šest znázorněných kroků: 1) Nastolení problému; 2) Matematické modelování; 3) Použití výpočetního nebo algoritmického postupu k řešení výpočetního nebo algoritmického matematického problému; 4) Matematické „odmodelování“; 5) Přemýšlení o výsledcích, zda byl jasně definovaný problém vyřešen, a 6) Přemýšlení o tom, zda byla vyřešena původní problémová situace. Kroky 5 a 6 zahrnují také přemýšlení o souvisejících problémech a problémových situacích, které by člověk mohl chtít řešit nebo které vznikly v procesu nebo při pokusu o vyřešení původního jasně definovaného problému nebo vyřešení původní problémové situace. Další informace o řešení problémů naleznete zde.
Závěrečné poznámky
Z úvah o schématu na obrázku 3 a dřívějších materiálů uvedených v této části vyplývají čtyři velmi důležité body:
- Matematika je pomůckou pro znázornění a pokusy o řešení problémových situací ve všech oborech. Je to interdisciplinární nástroj a jazyk.
- Počítače a kalkulačky jsou mimořádně rychlé, přesné a schopné provádět krok 3.
- Naše současné osnovy matematiky pro K-12 tráví většinu času tím, že učí studenty provádět krok 3 pomocí mentálních a fyzických nástrojů (jako je tužka a papír), které se používají již stovky let. Můžeme si to představit tak, že učíme studenty spíše soutěžit se stroji než pracovat se stroji.
- Náš současný systém matematického vzdělávání na úrovni PreK-12 je nevyvážený mezi znalostmi a dovednostmi nižšího řádu (s příliš velkým důrazem na krok č. 3 v diagramu) a znalostmi a dovednostmi vyššího řádu (všechny ostatní kroky v diagramu). Je slabý v matematice jako lidském úsilí a jako studijní disciplíně.
Existují tři mocní činitelé změny, kteří nakonec usnadní a vynutí si zásadní změny v našem systému matematického vzdělávání.
- Mozková věda, které významně pomáhají přístroje pro skenování mozku a počítačové mapování a modelování mozkových činností, významně přispívá k našemu porozumění tomu, jak se mozek učí matematice a jak využívá matematické znalosti a dovednosti.
- Počítačové a informační technologie poskytují výkonné pomůcky pro mnoho různých oblastí výzkumu (například vědu o mozku), pro výuku matematiky (například pomocí vysoce interaktivní inteligentní počítačem podporované výuky, možná poskytované prostřednictvím internetu), pro obsah matematiky (například výpočetní matematiku) a pro reprezentaci a automatizaci části „postupů“ při provádění matematiky.
- Stálý růst celku matematických znalostí a jejich aplikací na reprezentaci a pomoc při řešení problémů ve všech akademických disciplínách.
Na začátku stránky
.