Alai

V matematice je standardní báze (nazývaná také přirozená báze) souřadnicového vektorového prostoru množina vektorů, jejichž všechny souřadnice jsou nulové, s výjimkou jednoho, který se rovná 1. Je to množina vektorů, jejichž souřadnice jsou nulové. Například v případě euklidovské roviny tvořené dvojicemi (x, y) reálných čísel je standardní báze tvořena vektory

e x = ( 1 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}

Každý vektor a ve třech rozměrech je lineární kombinací standardních bázových vektorů i, j a k.

Podobně standardní bázi pro trojrozměrný prostor tvoří vektory

e x = ( 1 , 0 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 , 0 ) , e z = ( 0 , 0 , 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}

Tady vektor ex ukazuje ve směru x, vektor ey ukazuje ve směru y a vektor ez ukazuje ve směru z. Existuje několik běžných zápisů pro vektory se standardní bází, včetně {ex, ey, ez}, {e1, e2, e3}, {i, j, k} a {x, y, z}. Tyto vektory se někdy zapisují s kloboučkem, aby se zdůraznil jejich status jednotkových vektorů (standardní jednotkové vektory).

Tyto vektory jsou bází v tom smyslu, že jakýkoli jiný vektor lze jednoznačně vyjádřit jako jejich lineární kombinaci. Například každý vektor v v trojrozměrném prostoru lze jednoznačně zapsat jako

v x e x + v y e y + v z e z , {\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}

skaláry vx, vy, vz jsou skalární složky vektoru v.

V n-rozměrném euklidovském prostoru R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}}. se standardní báze skládá z n různých vektorů

{ e i : 1 ≤ i ≤ n }. , {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}

kde ei označuje vektor s jedničkou v i-té souřadnici a 0 jinde.

Standardní báze lze definovat i pro jiné vektorové prostory, jejichž definice zahrnuje koeficienty, jako jsou polynomy a matice. V obou případech se standardní báze skládá z takových prvků prostoru, že všechny koeficienty kromě jednoho jsou 0 a nenulový je 1. Pro polynomy se tedy standardní báze skládá z monomů a běžně se nazývá monomická báze. Pro matice M m × n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}}. , standardní bázi tvoří matice m × n s přesně jedním nenulovým zápisem, kterým je 1. Například standardní bázi pro matice 2 × 2 tvoří 4 matice

e 11 = ( 1 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 1 0 0 ) , e 21 = ( 0 0 1 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0\0&1\end{pmatrix}}.}