Polyedrické modely ikosaedrické architektury
Virusové struktury jsou významným příkladem ikosaedrické symetrie v biologii. Jejich architektury jsou v současnosti modelovány a klasifikovány z hlediska řady Goldbergových mnohostěnů14 – trojrozměrných těles s pětiúhelníkovými a šestihrannými stěnami – které poskytují referenční rámec pro polohu kapsidových proteinů (obr. 1a). Konkrétně polyedrické stěny označují polohy pentagonálních a hexagonálních proteinových klastrů nazývaných pentamery, resp. hexamery. Stejné polyedry také poskytují plány pro atomové pozice fullerenových klecí v uhlíkové chemii, zejména Buckminsterova fullerenu známého jako buckyball1. Poskytují také plány pro strukturní uspořádání široké škály umělých i přírodních proteinových nanoobalů. Jejich dvojníky, geodetické polyedry15 , jsou architektonické návrhy geodetických kopulí Buckminstera Fullera.
Goldbergovy polyedry lze sestrojit z hexagonální mřížky (mřížky) nahrazením 12 šestiúhelníků pětiúhelníky (obr. 1b), jak to vyžaduje Eulerova věta pro vytvoření uzavřeného polyedrického tvaru16. Vzdálenost \(D\) mezi pětiúhelníky v sousedních vrcholech pětistěnu je jediným stupněm volnosti v této konstrukci, a lze ji proto použít k označení různých geometrických možností v této nekonečné řadě mnohostěnů. \(D\) může nabývat pouze určitých hodnot, které jsou omezeny základní geometrií hexagonální mřížky. Konkrétně pomocí hexagonálních souřadnic \(h\) a \(k\), které nabývají libovolných celočíselných hodnot nebo nuly pro navigaci mezi středy sousedních šestiúhelníků v mřížce, získáme následující geometrické omezení11:
Zde \({A}_{0}\) odpovídá ploše nejmenšího trojúhelníku mezi libovolnými šestiúhelníkovými středy, tedy případu \(h=1\) a \(k=0\)-nebo ekvivalentně \(h=0\) a \(k=1\). Podobný vzorec byl odvozen pro protáhlé kapsidové struktury17.
T se nazývá triangulační číslo (obr. 1c) díky jeho geometrické interpretaci v termínech ikosaedrických triangulací získaných spojením středových bodů sousedních pětiúhelníků a šestiúhelníků, tj. v termínech duálních (geodetických) polyedrů. T označuje počty trojúhelníkových stěn, nazývaných fasety, v triangulaci, které pokrývají trojúhelníkovou stěnu ikosaedru podle plochy. Spojení proteinové podjednotky s každým rohem takové trojúhelníkové fasety převádí tuto nekonečnou řadu triangulací na rozložení kapsidy v teorii kvazikvivalence (obr. 1d). Takové plány umožňují pouze uspořádání kapsidy s 60T CP uspořádanými do 12 pentamerů a \(10(T-1)\) hexamerů11. Podmínka vyjádřená rovnicí 1 je tedy geometrickým omezením možných hodnot T a možných počtů CP v geometriích CK. Počáteční prvky řady jsou \(T=\)1, 3, 4 a 7, a proto jsou počty CP obsažených v malých ikosaedrických kapsidách 60, 180, 240 a 420 (doplňková tabulka 1).
Jedná se však pouze o jeden ze způsobů, jak lze ikosaedrickou strukturu sestavit z opakování stejné (asymetrické) jednotky, a vylučuje geometrie sestavené z proteinů různých velikostí (jako je hlavní a vedlejší kapsidový protein) nebo kapsidy sestavené z proteinu, v němž jedna nebo několik domén hraje odlišnou roli. Taková uspořádání kapsid musí být konstruována z mřížek, v nichž je každý vrchol identický, pokud jde o délky, počty a relativní úhly jeho vyčnívajících hran, ale relativní úhly mezi různými hranami ve stejném vrcholu se mohou lišit, což odráží obsazení různými typy proteinů nebo proteinových domén. Z geometrického hlediska existuje pouze 11 mřížek (kapitola 2 v knize Grünbaum a Shephard18), které splňují tento zobecněný princip kvaziekvivalence, což jsou archimédovské mřížky – známé také jako uniformní mřížky13,16 . Z těchto mříží pouze čtyři obsahují hexagonální podmřížku (obr. 2a). Jednou z nich je samotná hexagonální mříž, na níž je založeno klasifikační schéma CK. Tato mřížka je označena \((6,6,6)\) podle typů pravidelných mnohoúhelníků obklopujících každý vrchol, v tomto případě tři šestiúhelníky. Šestihranná mřížka je však pouze nejjednodušší mřížkou, která tuto konstrukci umožňuje. Jiné mřížky obsahující šestiúhelníky ve vhodných vzdálenostech, tj. jako šestiúhelníkové podmřížky, jsou pro konstrukci CK stejně vhodné, ale dosud byly ignorovány. Jedná se o trojúhelníkovou mřížku \((3,6,3,6)\), šestiúhelníkovou mřížku \(({3}^{4},6)\) a kosočtvercovou mřížku \((3,4,6,4)\). (obr. 2a). Tyto mřížky se také nazývají hexadeltille, snub hextille, respektive zkrácená hexadeltille mřížka16.
Návrh ikosaedrických architektur z archimédovských mřížek. a Čtyři archimédovské mřížky umožňující Casparovu-Klugovu konstrukci (shora dolů): hexagonální \((6,6,6)\), trihexagonální \((3,6,3,6)\), snub hexagonální \(({3}^{4},6)\) a kosočtvercová \((3,4,6,4)\) mřížka. V každém případě je zvýrazněna asymetrická jednotka (opakovací jednotka mřížky). Její překrytí s hexagonální submřížkou použitou pro konstrukci ikosaedrických polyedrů je znázorněno červeně. Kromě případu hexagonální mřížky sem patří také třetina trojúhelníkové plochy (modře) a u dvou mřížek navíc trojúhelník, resp. půlčtverec (obojí znázorněno zeleně). b Konstrukce archimédovských těles pomocí nahrazení 12 šestiúhelníků pětiúhelníky analogicky ke Casparově-Klugově konstrukci (viz také obr. 1b). c Mnohostěny odpovídající příkladům uvedeným v bodě b. Každý z nich odpovídá nejmenšímu mnohostěnu v nekonečné řadě mnohostěnů pro daný typ mřížky. Skládané struktury pro větší prvky nové řady jsou uvedeny na doplňkovém obr. 2. d Nejmenší polyedrické tvary (\({T}_{t}\), \({T}_{s}\) a \({T}_{r}\), označující polyedry odvozené z trihexagonální, snub hexagonální a rombitrihexagonální mřížky) jsou zobrazeny uspořádané podle velikosti v kontextu s Caspar-Klugovými polyedry. Vzhledem k tomu, že plochy povrchů se škálují podle rov. (2) vzhledem ke Casparově-Klugově geometrii, nová řešení spadají do velikostních mezer mezi polyedry v Casparově-Klugově řadě nebo poskytují alternativní uspořádání pro kapsidy stejné velikosti, jako je tomu v případě \(T(2,0)={T}_{t}(1,1)=4/3T(1,1)=4\)
Na základě analogie ke Casparově a Klugově konstrukci klasifikujeme ikosaedrické mnohostěny, které lze zkonstruovat z těchto naklonění nahrazením 12 šestiúhelníků pětiúhelníky (obr. 2b). Nahrazení nejbližších sousedních šestiúhelníků vede v každém případě k ikosaedricky symetrickému archimédovskému tělesu (obr. 2c), které odpovídá počátku nekonečné řady mnohostěnů konstruovaných vzdálenějšími pětiúhelníkovými vložkami. Jako prostředek k charakterizaci různých polyedrických struktur v řadě opět používáme hexagonální souřadnice \(h\) a \(k\), které nyní označují kroky mezi hexagonálními středovými body v hexagonální podsíti, k označení možných vzdáleností mezi pětiúhelníkovými vložkami. Ve třech dalších mřížkách jsou středy sousedních šestiúhelníků vzdálenější než v hexagonální mřížce. Plocha pokrytá trojúhelníkovou hranou spojující středy sousedních šestiúhelníků (tj. případ \(h=0\) a \(k=1\) nebo naopak) je tedy větší než v konstrukci CK o faktor \({\alfa }_{t}=4/3\cca 1.33\) pro mřížku \((3,6,3,6)\), \({\alfa }_{s}=7/3\aprox 2,33\) pro mřížku \(({3}^{4},6)\) a \({\alfa }_{r}=4/3+2/\sqrt{3}\aprox 2,49\) pro mřížku \((3,4,6,3)\), tj, o faktory odpovídající relativní velikosti asymetrických mřížkových jednotek (viz barevné zvýraznění na obr. 2a). Číslo T v konstrukci CK lze proto pro nové mřížky odpovídajícím způsobem škálovat takto
kde \(j=t,s,r\) označuje typ mřížky použitý v konstrukci, přičemž označuje trihexagonální, snub hexagonální a rombitrihexagonální mřížku. Konkrétně mnohostěn označený \({T}_{j}(h,k)\) má stejný počet pětiúhelníků a šestiúhelníků jako \(T(h,k)\). Mřížka Caspara Kluga, ale plocha, kterou pokrývají její stěny, je větší díky dalším mnohoúhelníkům (trojúhelníkům, čtvercům) mezi šestiúhelníky a pětiúhelníky. To je naznačeno škálovacím faktorem \({\alfa }_{j}\), který označuje přírůstek plochy v závislosti na planární mřížce, z níž je zkonstruována, jak je znázorněno na obr. 2.
Výsledné geometrie (Doplňkové tabulky 2-4) výrazně rozšiřují spektrum možných ikosaedrických virových modrotisků. Například \({T}_{t}(1,0)=4/3\), \({T}_{s}(1,0)=7/3\) a \({T}_{r}(1,0)=(4/3+2/\sqrt{3})\) jsou mezi \(T(1,0)=1\) a \(T(1,1)=3\). CK z hlediska velikosti kapsidy (obr. 2d), pokud se předpokládá, že jejich hexagonální (pod)mřížky mají stejnou stopu na povrchu kapsidy, tj. stejné velikosti CP. Některé z těchto geometrií navíc představují alternativní uspořádání pro podobně velké geometrie CK, jako například \({T}_{t}(1,1)=4\) a \({T}_{s}(1,1)=7\) pro struktury \(T(2,0)=4\) a \(T(2,1)=7\). V těchto případech mají alternativní modely kapsid stejný relativní povrch, ale předpokládá se, že mají různý počet a orientaci hexamerů a pentamerů s intersticiálními prostory mezi těmito kapsomery. Tyto alternativní struktury (a jejich duály) odpovídají dříve netušeným uspořádáním kapsid a nabízejí sjednocující rámec pro klasifikaci ikosaedrických architektur virů.
Neekvivalentní architektury v linii HK97
Zaznamenává se stále větší počet architektur kapsid s počtem CP a uspořádáním kapsid, které jsou neslučitelné s geometrickými plány teorie CK. Viry s kapsidami tvořenými kombinací hlavního a vedlejšího kapsidového proteinu jsou příklady, které jsou náročné na interpretaci v rámci klasické teorie CK. Zde uvádíme příklady z linie HK97, které ukazují, že takové viry lze racionalizovat v rámci zde navržené archimedovské mřížky.
Například fág Bacillus Basilisk obsahuje 1080 CP, které kombinují 540 hlavních kapsidových proteinů (MCP) a 540 vedlejších kapsidových proteinů (mCP)19 . Při použití vztahu \(60\ T\) pro počet CP v teorii CK by to odpovídalo číslu \(T\) 18, které je vyloučeno geometrickým omezením v teorii CK daným rovnicí 1. Pokud se zaměříme pouze na 12 pentamerů (přesněji 11 pentamerů a domnělý portál) a 80 hexamerů, pak by jeho struktura byla klasifikována jako \(T(3,0)=9\)19 . To však ignoruje 180 intersticiálních trimerů a zkresluje relativní orientaci proteinových klastrů i povrch kapsidy (obr. 3a). Naproti tomu polohy CP baziliška jsou přesně reprezentovány strukturou \({T}_{t}(3,0)=12\) založenou na trihexagonální mřížkové řadě v rámci zastřešujícího ikosaedrického konstrukčního principu. Tato klasifikace je také v souladu s měřením plochy povrchu baziliška (\(1,69\krát 1{0}^{4}\ {{\rm{nm}}}^{2}\), viz Metody), která je srovnatelná s plochou povrchu fága SIO-2 (\(1,70\krát 1{0}^{4}\ {{\rm{nm}}}^{2}\), což je klasický \(T=12\) kapsid20. Kapsida baziliška je tedy ikosaedrickou strukturou podobné velikosti jako u geometrie CK, ale vykazuje CP číslo a uspořádání kapsidy, které nejsou možné ve formalismu CK.
Viry v rámci virové linie přijímající stejnou ikosaedrickou řadu. Příklady virů v linii HK97, které ukazují, že různí členové odpovídají stejné rodině ikosaedrických polyedrů: a bazilišek (\({T}_{t}(3,0)\)), b HSV-1 (\({T}_{t}(4,0)\)), c fág \(\lambda\) (\({T}_{t}(2,1)\)). Stavební bloky jejich polyedrických povrchových mřížek jsou znázorněny červeně (pětiúhelníky), modře (šestiúhelníky) a zeleně (trojúhelníky) superponované na obrázcích převzatých z (a)19, (b)23 a (c)25
Bazilisk (obr. 3a) sdílí svůj MCP záhyb s dalšími bakteriofágy, archeálními a živočišnými viry v linii HK9712,21,22. Přehodnocení struktury dalších virů v rámci této linie ukazuje, že tyto evolučně příbuzné viry sdílejí stejnou základní ikosaedrickou geometrii mřížky, tj, že patří do stejné řady polyedrických konstrukcí (v tomto případě trihexagonální řady \({T}_{t}\)-architektur).
Například virus herpes simplex typu 1 (HSV-1) organizuje svůj MCP (VP5) v hexamerech a pentamerech s orientací připomínající orientaci v kapsidě baziliška (obr. 3b). Poloha těchto kapsomerů odpovídá současné klasifikaci HSV-1 jako \(T(4,0)=16\). To však zkresluje relativní orientaci hexamerů a ignoruje sekundární síť trimerních komplexů mezi kapsomery, které jsou tvořeny třemi mCP (Tr1, Tr2a a Tr2b)23 . Klasifikace jako struktura \({T}_{t}(4,0)=64/3\) v novém rámci (doplňková tabulka 2) však přesně odráží jak jejích 960 MCP, tak 960 mCP. Totéž platí pro lidský cytomegalovirus (HCMV)24 (struktura není zobrazena), který je strukturně podobný HSV-1.
Zralá kapsida fága \(\lambda\) (obr. 3c) je dalším příkladem viru linie HK97 s trihexagonální ikosaedrickou strukturou. V současné době je klasifikován jako \(T(2,1)=7\)12, ale orientace kapsomerů vykazuje místo toho uspořádání struktury \({T}_{t}(2,1)=28/3\), protože vyčnívající domény MCP – spíše než další mCP – zabírají trojúhelníkovou podmřížku. V těchto polohách se také nacházejí výztužné proteiny gpD25, což podtrhuje význam těchto trimerních poloh v povrchové mřížce (obr. 3c). Alternativně byl jako \(T(2,1)=7\) klasifikován Halorubrum sodomense taled virus 2 (HSTV-2), další člen linie HK97. Jeho kapsida však obsahuje trimery podobné gpD, které zaujímají intersticiální pozice mezi kapsomery, což odpovídá trihexagonální struktuře \({T}_{t}(2,1)=28/3\). (viz obr. 8 v Pietilä et al.26). To znamená zvětšení objemu kapsidy (a tedy i velikosti genomu) o faktor \({\alfa }_{t}^{3/2}\přibližně 1,54\) oproti klasické kapsidě \(T(2,1)\). Tato předpověď je v souladu s empirickým pozorováním, že HSTV-2 má genom, který je ~\(1,4-1,7\) větší než genom fágů s chvostem \(T=7\)26 , což dále potvrzuje jeho klasifikaci jako \({T}_{t}(2,1)=28/3\) kapsidu v našem rámci. Dalším příkladem je termofilní bakteriofág P23-45, který je v současné době klasifikován jako kapsida s nadměrnou architekturou \(T=7\)27.
V souhrnu tyto příklady naznačují, že zde zavedené klasifikační schéma pro architekturu virů zdůrazňuje strukturní rysy sdílené evolučně příbuznými viry, a proto se hodí jako charakteristika virových linií.
Alternativní uspořádání kapsid s identickou stechiometrií
Existuje mnoho příkladů kvaziekvivalentních virových kapsid, které jsou tvořeny stejným počtem CP, ale vykazují různé pozice CP a kapsomerů. Teorie CK mezi nimi nerozlišuje. My zde však na příkladu různých \(T=3\) geometrií ukážeme, že archimédovské mřížky a jejich duály – tzv. Lavesovy mřížky – poskytují prostředek k řešení tohoto problému.
V teorii CK se vzájemně používají hexagonální povrchové mřížky a jejich duály odpovídající trojúhelníkové mřížce (3, 3, 3). Nejmenší ikosaedrický mnohostěn odvozený z trojúhelníkové mřížky je ikosaedr složený z 20 trojúhelníků. Další největší je tvořen 60 trojúhelníky a poskytuje plán pro klasickou strukturu \(T=3\). S využitím konvence teorie CK, že polyedrické stěny musí představovat skupiny proteinů, které počtem odpovídají rotační symetrii dlaždice (např. trojúhelníky představující tři proteiny atd.), lze uspořádání kapsidy přiřadit k polyedrickým strukturám. Pariacoto virus (PAV; obr. 4a) se silnou interakcí mezi třemi řetězci tvořícími trojúhelníkové jednotky je příkladem tohoto typu povrchové architektury \({T}^{D}(1,1)\).
Rozhraní proteinů kapsidy jsou omezena ikosaedrickou geometrií. Klasifikace ikosaedrických vzorů rozlišuje mezi uspořádáním kapsid virů vytvořených ze stejného počtu proteinů. Jsou uvedeny příklady trojúhelníkového a kosočtvercového uspořádání: a Pariacoto virus (\({T}^{D}(1,1)\)); b MS2 (\({T}_{t}^{D}(1,1)\)). Dlaždice jsou zobrazeny superponované na obrázcích převzatých z databáze ViPER (Pariacoto virus: PDB-id 1f8v64; MS2: PDB-id 2ms265)
Dvojice ostatních archimédovských mřížek (trihexagonální, snub hexagonální, rhombitrihexagonální) představují alternativní povrchové architektury k těm v teorii CK ve smyslu kosočtvercových, floretových, resp. dračích dlaždic (srov. Doplňková tabulka 5). Přísné uplatnění pravidla CK, že symetrie dlaždice musí být v korelaci s počtem proteinů reprezentovaných touto dlaždicí, vyčleňuje duální trihexagonální mřížky (\({T}_{t}^{D}\)), tj. kosočtvercové mřížky s dlaždicemi reprezentujícími shluky dvou proteinů (CP dimery). Rhombové mřížky poskytují alternativní uspořádání k povrchovým mřížkám CK a popisují kapsidy se stejnou stechiometrií proteinů, ale různým uspořádáním CP. Bakteriofág MS2 (obr. 4b), virus sestavený z 90 CP dimerů, je příkladem rombického uspořádání \(T=3\) (\({T}_{t}^{D}(1,1)\); doplňková tabulka 5). Všimněte si, že zatímco stechiometrie proteinů se v tomto případě shoduje s rámcem CK a odpovídá 180 proteinům očekávaným pro strukturu \(T=3\), identifikace jako geometrie \({T}_{t}^{D}(1,1)\) poskytuje přesnější popis pozic CP a jejich relativní orientace na povrchu kapsidy.
Nekvaziekvivalentní a kosočtverečné dlaždice vyšších řádů
Rozšířením konvence CK tak, aby kosočtverce mohly reprezentovat více než dva CP, pokud jejich pozice na dlaždici respektují symetrii dlaždice, je geometricky myslitelný i vyšší počet proteinů. Toho by bylo možné dosáhnout například spojením dvou dimerů. Stechiometrie proteinů pro takové kapsidy by byla \(120\ T(h,k)\) a první prvky řady by obsahovaly 120, 360 a 480 proteinů. Příkladem prvního prvku této řady je pikobirnavirus (doplňkový obr. 3a). Tento virus tvoří kosočtvercové dlaždice složené ze dvou proteinových dimerů v paralelní orientaci a obsahuje celkem 120 proteinů28. Tato struktura byla v rámci CK tradičně popisována jako zakázané číslo \(T=2\), ale do nového rámce přirozeně zapadá jako rombická dlaždice vyššího řádu. Další prvky této řady předpovídají existenci zakázaných čísel \(T=6\) (360 proteinů) a \(8\) (480 proteinů). Podle tohoto vzoru je logické uvažovat o možnosti kosočtverečných dlaždic představujících tři proteinové dimery, které by rovněž splňovaly požadovanou dvojnásobnou symetrii. Stechiometrie proteinů pro tyto kapsidy by byla \(180\, T(h,k)\) a tři nejmenší geometrie tohoto typu by obsahovaly 180, 540 a 720 proteinů. Příkladem prvního prvku této řady je virus Zika (doplňkový obr. 3b) z čeledi Flaviviridae. Konkrétně každá kosočtverečná dlaždice v jeho kapsidě představuje šest protáhlých proteinů (tři paralelní dimery respektující dvojnásobnou symetrii dlaždice), takže 30 dlaždic představuje celkem 180 proteinů. V průkopnické práci v roce 2002 si Rossmannova laboratoř a její spolupracovníci uvědomili, že tři monomery E v každé ikosaedrické asymetrické jednotce viru Dengue29 nemají kvaziekvivalentní symetrické prostředí ve vnějším, ikosaedrickém lešení vytvořeném z 90 dimerů glykoproteinů E. Náš přístup založený na duálech Archimédových mříží se s takovými nekvasiekvivalentními kapsidovými strukturami vyrovnává.
Náš rámec tedy rozšiřuje předpovědi teorie kvaziekvivalence o podrobnější pochopení geometrie kapsidy, přičemž rozlišuje mezi kapsidovými architekturami s různými typy uspořádání kapsidových proteinů a rozhraními při stejném počtu kapsidových proteinů. To je důležité pro lepší pochopení biofyzikálních vlastností virových kapsid, jako je jejich stabilita, a jejich role v životních cyklech viru, např. při sestavování a rozkládání virionu, a odhaluje geometrická omezení virové evoluce.
.