Matice, která je podobná trojúhelníkové matici, se říká trojúhelníková. Abstraktně to odpovídá stabilizaci příznaku: horní trojúhelníkové matice jsou právě ty, které zachovávají standardní příznak, který je dán standardní uspořádanou bází ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}.
a výsledný příznak 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1 , … , e n ⟩ = K n . {\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}
Všechny vlajky jsou konjugované (protože obecná lineární grupa působí tranzitivně na báze), takže každá matice, která stabilizuje vlajku, je podobná té, která stabilizuje standardní vlajku.
Každá komplexní čtvercová matice je triangularizovatelná. Ve skutečnosti je matice A nad polem obsahujícím všechna vlastní čísla A (například každá matice nad algebraicky uzavřeným polem) podobná trojúhelníkové matici. To lze dokázat pomocí indukce na faktu, že A má vlastní vektor, a to tak, že vezmeme prostor kvocientů podle vlastního vektoru a indukcí ukážeme, že A stabilizuje prapor, a je tedy triangularizovatelná vzhledem k bázi pro tento prapor.
Přesnější tvrzení poskytuje Jordanova věta o normální formě, která říká, že v této situaci je A podobná horní trojúhelníkové matici velmi konkrétního tvaru. Často však stačí jednodušší výsledek triangularizace, který se v každém případě používá při důkazu Jordanovy věty o normální formě.
V případě komplexních matic lze o triangularizaci říci více, a to, že každá čtvercová matice A má Schurův rozklad. To znamená, že A je unitárně ekvivalentní (tj. podobná, použijeme-li unitární matici jako změnu báze) horní trojúhelníkové matici; to vyplývá z toho, že vezmeme hermitovskou bázi pro praporek.
Současná triangularizovatelnostUpravit
Množina matic A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}.
se říká, že je současně triangularizovatelná, jestliže existuje báze, podle níž jsou všechny horně triangulární; ekvivalentně, jestliže je horně triangularizovatelná jedinou podobnostní maticí P. Takovou množinu matic snáze pochopíme, když uvážíme algebru matic, kterou generuje, totiž všechny polynomy v A i , {\displayystyle A_{i},}
označené K . {\displaystyle K.}
Simultánní triangularizovatelnost znamená, že tato algebra je konjugovaná do Lieovy podalgebry horních trojúhelníkových matic a je ekvivalentní tomu, že tato algebra je Lieovou podalgebrou Borelovy podalgebry.
Základním výsledkem je, že (nad algebraicky uzavřeným polem) komutující matice A , B {\displayystyle A,B}.
nebo obecněji A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
jsou současně trojúhelníkové. To lze dokázat tak, že nejprve ukážeme, že komutující matice mají společný vlastní vektor, a pak indukcí na dimenzi jako dříve. To dokázal Frobenius, počínaje rokem 1878 pro komutující dvojici, jak bylo probráno u komutujících matic. Pokud jde o jedinou matici, nad komplexními čísly lze tyto matice triangularizovat jednotkovými maticemi.
To, že komutující matice mají společný vlastní vektor, lze interpretovat jako výsledek Hilbertovy Nullstellensatz: komutující matice tvoří komutativní algebru K {\displaystyle K}
nad K {\displaystyle K}
, kterou lze interpretovat jako variety v k-rozměrném afinním prostoru, a existence (společné) vlastní hodnoty (a tedy společného vlastního vektoru) odpovídá tomu, že tato variety má bod (je neprázdná), což je obsahem (slabé) Nullstellensatz. Z algebraického hlediska tyto operátory odpovídají algebraické reprezentaci polynomiální algebry v k proměnných.
To je zobecněno Lieovou větou, která ukazuje, že každá reprezentace řešitelné Lieovy algebry je zároveň horní trojúhelníkovou, přičemž případ komutujících matic je případem abelické Lieovy algebry, přičemž abelická je a fortiori řešitelná.
Obecněji a přesněji řečeno, množina matic A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}} je množina matic A_{1},\ldots ,A_{k}}.
je současně triangularizovatelná tehdy a jen tehdy, když matice p ( A 1 , … , A k ) {\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})}
je nilpotentní pro všechny polynomy p v k nekomutujících proměnných, kde {\displaystyle }
je komutátor; pro komutující A i {\displaystyle A_{i}}.
komutátor mizí, takže to platí. To bylo dokázáno v (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951); stručný důkaz je uveden v (Prasolov 1994, str. 178-179). Jeden směr je jasný: jsou-li matice současně triangularizovatelné, pak {\displayystyle }
je striktně horní triangularizovatelná (tedy nilpotentní), což se zachová násobením libovolným A k {\displaystyle A_{k}}.
nebo jejich kombinací – v triangularizační bázi bude mít stále 0 na diagonále.