Die meisten Tontafeln, die babylonische Mathematik beschreiben, gehören zum Altbabylonischen, weshalb die Mathematik Mesopotamiens gemeinhin als babylonische Mathematik bezeichnet wird. Einige Tontafeln enthalten mathematische Listen und Tabellen, andere enthalten Aufgaben und ausgearbeitete Lösungen.
ArithmeticEdit
Die Babylonier benutzten vorberechnete Tabellen, um die Arithmetik zu unterstützen. Zwei 1854 in Senkerah am Euphrat gefundene Tafeln aus dem Jahr 2000 v. Chr. enthalten beispielsweise Listen mit den Quadraten der Zahlen bis 59 und den Würfeln der Zahlen bis 32. Die Babylonier verwendeten die Listen der Quadrate zusammen mit den Formeln:
a b = ( a + b ) 2 – a 2 – b 2 2 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}}
a b = ( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 4 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}
um die Multiplikation zu vereinfachen.
Die Babylonier hatten keinen Algorithmus für die lange Division. Stattdessen basierten sie ihre Methode auf der Tatsache, dass:
a b = a × 1 b {\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}
zusammen mit einer Tabelle der Kehrwerte. Zahlen, deren einzige Primfaktoren 2, 3 oder 5 sind (so genannte 5-Glatt- oder reguläre Zahlen), haben endliche Kehrwerte in der Sexagesimalschreibweise, und es wurden Tabellen mit umfangreichen Listen dieser Kehrwerte gefunden.
Reziproke Zahlen wie 1/7, 1/11, 1/13 usw. haben keine endlichen Darstellungen in der Sexagesimalschreibweise. Um 1/13 zu berechnen oder eine Zahl durch 13 zu teilen, verwendeten die Babylonier eine Näherung wie:
1 13 = 7 91 = 7 × 1 91 ≈ 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600 . {\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.}
AlgebraEdit
Die babylonische Tontafel YBC 7289 (ca. 1800-1600 v. Chr.) gibt eine Näherung von √2 in vier Sexagesimalzahlen, 1;24,51,10, an, die auf etwa sechs Dezimalstellen genau ist und die nächstmögliche dreistellige Sexagesimaldarstellung von √2 ist:
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 = 1,41421 296 ¯ . {displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.}
Neben den arithmetischen Berechnungen entwickelten die babylonischen Mathematiker auch algebraische Methoden zur Lösung von Gleichungen. Auch diese basierten auf vorberechneten Tabellen.
Um eine quadratische Gleichung zu lösen, verwendeten die Babylonier im Wesentlichen die quadratische Standardformel. Sie betrachteten quadratische Gleichungen der Form:
x 2 + b x = c {\displaystyle \ x^{2}+bx=c}
wobei b und c nicht unbedingt ganze Zahlen waren, aber c war immer positiv. Sie wussten, dass eine Lösung dieser Gleichungsform lautet:
x = – b 2 + ( b 2 ) 2 + c {\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}}
und sie fanden Quadratwurzeln effizient durch Division und Mittelwertbildung. Sie verwendeten immer die positive Wurzel, weil dies bei der Lösung „echter“ Probleme sinnvoll war. Zu dieser Art von Problemen gehörte es, die Abmessungen eines Rechtecks zu bestimmen, wenn dessen Fläche und der Betrag, um den die Länge die Breite übersteigt, gegeben sind.
Tabellen mit Werten von n3 + n2 wurden verwendet, um bestimmte kubische Gleichungen zu lösen. Betrachten wir zum Beispiel die Gleichung:
a x 3 + b x 2 = c . {\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}
Multipliziert man die Gleichung mit a2 und dividiert durch b3 erhält man:
( a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 . {\displaystyle \left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.}
Die Substitution von y = ax/b ergibt:
y 3 + y 2 = c a 2 b 3 {\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}
, die nun durch Nachschlagen in der Tabelle n3 + n2 gelöst werden konnte, um den Wert zu finden, der der rechten Seite am nächsten lag. Die Babylonier schafften dies ohne algebraische Notation und bewiesen damit eine bemerkenswerte Tiefe ihres Verständnisses. Sie verfügten jedoch nicht über eine Methode zur Lösung der allgemeinen kubischen Gleichung.
WachstumBearbeiten
Die Babylonier modellierten exponentielles Wachstum, eingeschränktes Wachstum (über eine Form von Sigmoidfunktionen) und Verdopplungszeit, letzteres im Zusammenhang mit Kreditzinsen.
Tontafeln aus der Zeit um 2000 v. Chr. enthalten die Aufgabe: „Berechnen Sie bei einem Zinssatz von 1/60 pro Monat (ohne Zinseszins) die Verdopplungszeit.“ Daraus ergibt sich ein jährlicher Zinssatz von 12/60 = 20% und damit eine Verdopplungszeit von 100% Wachstum/20% Wachstum pro Jahr = 5 Jahre.
Plimpton 322Bearbeiten
Die Plimpton 322-Tafel enthält eine Liste von „pythagoreischen Tripeln“, d.h. ganzen Zahlen ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)}
so dass a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
Die Dreiergruppen sind zu zahlreich und zu groß, um mit roher Gewalt gewonnen zu werden.
Viel ist zu diesem Thema geschrieben worden, einschließlich einiger (vielleicht anachronistischer) Spekulationen darüber, ob die Tafel als frühe trigonometrische Tabelle gedient haben könnte. Es muss darauf geachtet werden, dass die Tafel in Bezug auf Methoden gesehen wird, die den Schreibern zu dieser Zeit vertraut oder zugänglich waren.
Die Frage „Wie wurde die Tafel berechnet?“ muss nicht dieselbe Antwort haben wie die Frage „Welche Probleme stellt die Tafel?“ Die erste kann am zufriedenstellendsten durch reziproke Paare beantwortet werden, wie schon vor einem halben Jahrhundert vorgeschlagen, und die zweite durch eine Art von rechtwinkligen Problemen.
(E. Robson, „Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322“, Historia Math. 28 (3), S. 202).
GeometrieBearbeiten
Die Babylonier kannten die üblichen Regeln zur Messung von Volumen und Flächen. Sie maßen den Umfang eines Kreises als das Dreifache des Durchmessers und die Fläche als ein Zwölftel des Quadrats des Umfangs, was richtig wäre, wenn π auf 3 geschätzt wird. Sie waren sich bewusst, dass dies eine Annäherung war, und eine altbabylonische mathematische Tafel, die 1936 in der Nähe von Susa ausgegraben wurde (datiert auf das 19. bis 17. Jahrhundert v. Chr.), gibt eine bessere Annäherung von π als 25/8 = 3.Das Volumen eines Zylinders wurde als das Produkt aus Grundfläche und Höhe angenommen, das Volumen eines Kegelstumpfes oder einer quadratischen Pyramide wurde jedoch fälschlicherweise als das Produkt aus Höhe und halber Summe der Grundflächen angenommen. Der Satz des Pythagoras war auch den Babyloniern bekannt.
Die „babylonische Meile“ war ein Entfernungsmaß, das etwa 11,3 km (oder etwa sieben modernen Meilen) entsprach; dieses Entfernungsmaß wurde schließlich in eine „Zeitmeile“ umgewandelt, die zur Messung des Laufs der Sonne verwendet wurde und somit die Zeit repräsentierte.
Die alten Babylonier kannten schon seit vielen Jahrhunderten Theoreme über das Verhältnis der Seiten ähnlicher Dreiecke, aber es fehlte ihnen das Konzept eines Winkelmaßes, so dass sie stattdessen die Seiten von Dreiecken studierten.
Die babylonischen Astronomen führten detaillierte Aufzeichnungen über den Auf- und Untergang der Sterne, die Bewegung der Planeten und die Sonnen- und Mondfinsternisse, die alle die Kenntnis der auf der Himmelskugel gemessenen Winkelabstände voraussetzten.
Sie benutzten auch eine Form der Fourier-Analyse, um Ephemeriden (Tabellen mit astronomischen Positionen) zu berechnen, die in den 1950er Jahren von Otto Neugebauer entdeckt wurde. Zur Berechnung der Bewegungen von Himmelskörpern verwendeten die Babylonier die Grundrechenarten und ein Koordinatensystem, das auf der Ekliptik basiert, dem Teil des Himmels, den die Sonne und die Planeten durchlaufen.
Tafeln, die im Britischen Museum aufbewahrt werden, belegen, dass die Babylonier sogar ein Konzept von Objekten in einem abstrakten mathematischen Raum hatten. Die Tafeln stammen aus der Zeit zwischen 350 und 50 v. Chr. und zeigen, dass die Babylonier die Geometrie noch früher verstanden und nutzten, als bisher angenommen. Die Babylonier verwendeten eine Methode zur Schätzung der Fläche unter einer Kurve, indem sie ein Trapez darunter zeichneten, eine Technik, von der man bisher annahm, sie stamme aus dem Europa des 14. Mit dieser Schätzmethode konnten sie zum Beispiel die Entfernung ermitteln, die Jupiter in einer bestimmten Zeit zurückgelegt hatte.