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EINFÜHRUNG

Logik ist das Studium der Muster kohärenter oder konsistenter Sprache. Ihre wichtigsten Anwendungen sind die Suche nach Ungereimtheiten in Geschichten oder Berichten und die Identifizierung gültiger und ungültiger Formen der Argumentation.

Die Logik beruht auf der Tatsache, dass es Aussagen gibt, die notwendigerweise wahr sind und daher nicht falsifiziert werden können, egal was der Fall ist oder nicht. Solche Aussagen nennt man Tautologien. Hier einige einfache Beispiele für tautologische Aussagen:

• Es regnet oder es regnet nicht.
• Jungen sind Jungen.
• Kein Kreis ist ein Rechteck.

Da Tautologien unabhängig davon, was der Fall ist oder nicht, wahr sind, ist es einfach unmöglich, ein Gegenbeispiel zu finden, zu konstruieren oder sich überhaupt vorzustellen (eine Situation, in der die Tautologie nicht wahr wäre). Aus demselben Grund ist die Negation einer Tautologie notwendigerweise falsch und kann daher nicht verifiziert werden, unabhängig davon, was der Fall ist oder nicht ist. Negationen von Tautologien werden als Widersprüche bezeichnet. Es ist unmöglich, ein Beispiel zu finden, zu konstruieren oder sich auch nur vorzustellen (eine Situation, in der der Widerspruch eine wahre Aussage wäre). Hier sind die widersprüchlichen Aussagen, die die Negationen der oben aufgeführten Tautologien sind:

• Es regnet und es regnet nicht.
• Ein Junge ist kein Junge.
• Ein Kreis ist ein Rechteck.

In einer inkohärenten Rede verwickelt sich der Redner in einen Widerspruch, der für seine Zuhörer mehr oder weniger offensichtlich oder in seinen Argumenten so gut versteckt sein kann, dass nur eine sorgfältige logische Analyse ihn ans Licht bringt.

PRINZIPIEN

In der folgenden Tabelle sind einige grundlegende Prinzipien der Logik aufgeführt. Jedes einzelne von ihnen ist eine Tautologie.

Um das Risiko, das durch die Mehrdeutigkeiten der natürlichen Sprache entsteht, zu minimieren oder zu beseitigen, verwenden Logiker oft eine einfachere, aber eindeutige „formale“ Sprache. Eine einfache Teilformalisierung der oben genannten Prinzipien wäre zum Beispiel:

Für viele Zwecke werden Logiker Formalisierungen entwickeln, die anspruchsvoller sind als diese. Für andere Zwecke ist keine Formalisierung notwendig.

Um logisch zu sprechen oder zu schreiben, sollte man keinem der in der Tabelle aufgeführten Prinzipien explizit oder implizit widersprechen.

Zum Beispiel:

Es ist unlogisch, von sich selbst zu sagen

• dass man kein Ding ist (was gegen ‚Existenz‘ verstößt)

• dass man nicht man ist (was gegen ‚Identität‘ verstößt)

• dass man ich ist (was gegen ‚Einzigartigkeit‘ verstößt).

Es ist unlogisch, von deiner Katze

• zu sagen, dass sie keine Eigenschaften hat (was gegen ‚Spezifität‘ verstößt)

• dass sie tot ist und nicht tot (was gegen ‚NichtWiderspruch‘)

• dass es weder gesund noch ungesund ist (was gegen die ‚Ausgeschlossene Mitte‘ verstößt).

SUBJEKT, PRÄDIKAT UND KONTEXT

Das Wort ‚Ding‘, das in jedem der Prinzipien der Logik vorkommt, bezieht sich auf alles, über das man etwas sagen möchte. So ist ein Gegenstand (der Eiffelturm, Ihr Computer) ein Ding. Das Gleiche gilt für ein Tier (Ihre Katze), eine Person (mich, Sie, Ihren Vater) oder eine fiktive Figur (Mickey Mouse). Ein historisches oder fiktives Ereignis (der Zweite Golfkrieg, der Urknall, Ihre Geburt, die Hochzeit Ihres Nachbarn, der Tod von Sherlock Holmes) ist ein Ding. Andere Dinge sind ein Buchstabe des Alphabets, ein Wort, ein Satz, ein Argument, und so weiter. Kurz gesagt, ein Ding ist alles, was das Subjekt von etwas ist oder sein kann, das man sagt.

Was man über ein Ding sagt, nennt man sein Prädikat – es ist das, was man von ihm prädiziert. Zum Beispiel kann man von einem Gegenstand sagen, dass er eine bestimmte Eigenschaft hat oder nicht hat, oder dass er in einer bestimmten Beziehung zu einem oder mehreren Dingen steht oder nicht steht.

Beachte, dass man immer einen klaren Unterschied zwischen einem Ding und den Namen oder Beschreibungen machen sollte, mit denen man sich auf es bezieht. Der Name „Oliver“ besteht aus sechs Buchstaben, aber die Person, auf die der Name zutrifft, besteht nicht aus Buchstaben. Der Name „Dracula“, als Eigenname eines Vampirs, bezieht sich nicht auf eine reale Sache – Dracula existiert nicht -, aber der Name selbst existiert offensichtlich. Folglich gilt das „Axiom der Existenz“ im Zusammenhang mit der Beschreibung der realen Welt nur für den Namen „Dracula“, nicht aber für den nicht existierenden Dracula. Man sollte das Existenzaxiom also nicht so lesen, als ob es hieße: „Für jeden Namen gibt es ein Ding, auf das sich der Name bezieht“.

Manchmal finden wir, dass ein Ding unter mehr als einem Namen oder einer Beschreibung bekannt ist. Zum Beispiel beziehen sich die Namen „Morgenstern“ und „Abendstern“ auf denselben Planeten. Diese Tatsache stellt jedoch kein Gegenbeispiel oder eine Ausnahme vom Grundsatz der Einzigartigkeit dar. Mit anderen Worten, es ist nicht so, dass wir es hier mit einem Paar von Dingen zu tun haben – dem Morgenstern und dem Abendstern -, so dass das eine Ding das andere Ding ist: Es gibt nur den einen Planeten. Es ist auch nicht der Fall, dass wir hier ein Paar von Dingen haben – den Namen „Morgenstern“ und den Namen „Abendstern“ -, so dass der eine Name mit dem anderen identisch ist.

Wir sollten beachten, dass sich die Prinzipien der Logik auf einen bestimmten Kontext beziehen. In der Dracula-Geschichte bezieht sich der Name ‚Dracula‘ auf etwas, von dem angenommen wird, dass es wirklich existiert. Die Geschichte würde keinen Sinn ergeben, wenn man diese Vermutung nicht anstellen würde. Micky Maus existiert nicht in der realen physischen Welt, aber in den Micky Maus-Geschichten wird sie als existent angenommen. Natürlich weiß man, dass die Geschichte fiktiv ist, aber um sie genießen zu können, muss man das, was sie erzählt, klar von dem trennen, von dem man weiß, dass es in der realen Welt wahr ist. Wenn man den Kontext des wirklichen Lebens und den Kontext eines bestimmten Stücks Fiktion oder Phantasie verwechselt, wird man weder das eine noch das andere verstehen.

Den Überblick über die Zusammenhänge zu behalten, ist ein wesentlicher Schritt in der Logik. Herauszufinden, welche Aussagen sich auf denselben Kontext beziehen können und welche nicht, ist der Hauptzweck der Logik. Ihre Katze mag gestern noch gesund und munter gewesen sein, heute Morgen aber krank – und jetzt ist sie vielleicht tot. Diese Aussage ist nicht widersprüchlich. Es kann jedoch nicht wahr sein, dass Ihre Katze lebendig und gesund, krank und tot ist – alles zur gleichen Zeit.

Eine Aussage, Vorstellung oder Geschichte mag nicht wahr sein, aber das bedeutet nicht, dass sie unlogisch ist. Wir können durchaus prüfen, ob eine Geschichte unlogisch ist oder nicht, unabhängig davon, ob sie wahr sein soll. Ein Roman, in dem im ersten Kapitel berichtet wird, dass der Butler die Leiche seines Arbeitgebers entdeckt hat, und im achten Kapitel steht, dass der Butler bereits tot war, als sein Arbeitgeber starb, ist unlogisch. Er erzählt eine Geschichte, die unmöglich wahr sein kann. Andererseits könnte eine logisch konsistente oder kohärente Geschichte auch dann wahr sein, wenn sie es nicht ist.

Es ist offensichtlich, dass die Prüfung, ob eine Geschichte konsistent ist, nicht dasselbe ist wie die Prüfung, ob sie wahr ist. Zu prüfen, ob eine Geschichte mit einer anderen übereinstimmt, ist nicht dasselbe wie zu prüfen, ob sie mit dem übereinstimmt, was wir über die reale Welt wissen.

Wenn zwei Menschen in einem Punkt nicht übereinstimmen, muss mindestens einer von ihnen etwas sagen, das nicht wahr ist. Es ist auch möglich, dass beide etwas sagen, das falsch ist. Wenn sie jedoch nicht vorgeben würden, über die reale Welt oder dieselbe fiktive Geschichte zu diskutieren, sondern lediglich Geschichten zum Vergnügen ihrer Leser produzieren, dann würden sie sich vermutlich nicht um die Übereinstimmung ihrer literarischen Produkte mit den Tatsachen der Realität oder den Tatsachen irgendeiner Geschichte außer ihrer eigenen kümmern.

Es gibt zwar Aussagen, die in einem Kontext wahr und in einem anderen falsch sind, aber Tautologien sind in allen Kontexten wahr und Widersprüche sind in allen Kontexten falsch. Das ist nur eine andere Art zu sagen, dass Tautologien notwendigerweise wahr sind und daher nicht falsifiziert werden können, ganz gleich, was der Fall ist oder nicht; und dass Widersprüche notwendigerweise falsch sind und daher nicht verifiziert werden können, ganz gleich, was der Fall ist oder nicht.

LOGIK UND RETORIK

Etwas Unlogisches zu sagen bedeutet, etwas zu sagen, das, wenn man es wörtlich nimmt, nicht wahr sein kann. Es bedeutet, etwas zu sagen, von dem wir uns nicht einmal vorstellen können, dass es wahr ist – und zwar nicht, weil es an Vorstellungskraft mangelt.

Wenn jemand sagt: „Meine Katze ist tot und nicht tot“, dann kann das, was er sagt, nicht wahr sein, zumindest wenn wir ihn wörtlich nehmen. Um seiner Behauptung einen Sinn zu geben, müssen wir annehmen, dass er das Wort ‚tot‘ in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet, zum Beispiel: ‚Meine Katze lebt, aber sie ist so lustlos, dass sie genauso gut tot sein könnte‘. Diese Interpretation löst den Widerspruch auf, aber nur, wenn man davon ausgeht, dass er etwas anderes meint als das, was er wörtlich gesagt hat.

Wenn jemand sagt: „Ich bin heute nicht ich selbst“, dann neigen wir dazu, anzunehmen, dass er so etwas meint wie: „Ich weiß nicht, was heute mit mir los ist, aber mein gegenwärtiges Verhalten ist ungewöhnlich für mich“. Wenn er jedoch darauf besteht, dass wir seine Worte wörtlich nehmen, dann können wir dem, was er sagt, keinen Sinn abgewinnen. Es kann unmöglich wahr sein.

Wenn jemand absichtlich etwas sagt, das auf den ersten Blick unlogisch erscheint, ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass er nicht will, dass seine Zuhörer es wörtlich verstehen. Wahrscheinlich spricht er rhetorisch, um eine Aussage zu machen oder zu unterstreichen. Gegen solche rhetorischen Ausschmückungen ist an sich nichts einzuwenden, aber sie sollten mit Vorsicht verwendet werden, da sie das Risiko von Missverständnissen erhöhen. Schließlich sagt man etwas, das man nicht wörtlich nehmen sollte, sondern man überlässt es dem Publikum, herauszufinden, was man wirklich sagen will.
Außerdem können rhetorische Ausdrücke irreführend sein. Demagogen und Trickbetrüger benutzen sie oft, um die Aufmerksamkeit ihres Publikums von relevanten Fakten abzulenken oder es dazu zu bringen, eine Sache mit einer anderen zu assoziieren, obwohl es keine objektive Grundlage für die Assoziation gibt. Je weniger das Publikum in Sachen Logik geschult ist, desto leichter fällt es den Demagogen und Trickbetrügern, es in die Irre zu führen. Wie Bertrand Russell sagte: „Logik ist die beste Verteidigung gegen Betrug.“

Oft ist die Unlogik dessen, was eine Person sagt, nicht offensichtlich oder ist offensichtlich kein beabsichtigtes Ergebnis. Es kann sein, dass sie sich erst bei genauerer Analyse des Gesagten oder durch die Kombination verschiedener Teile seiner Botschaft zeigt. Es kann aber auch sein, dass sie nur dadurch zum Vorschein kommt, dass sie explizit macht, was sie nicht mit so vielen Worten gesagt hat, aber bekräftigen sollte, weil es in dem, was sie explizit gesagt hat, impliziert ist. Manchmal ist sich ein Sprecher nicht über alle logischen Implikationen seiner Äußerungen im Klaren. Manchmal ist er sich vielleicht nicht bewusst, dass es faktisches oder theoretisches Wissen gibt, das auf das, was er sagt, zutrifft. Betrachten wir die folgende Nachricht:

1. Ich habe ein Stück flaches Land gekauft, das ein perfektes rechtwinkliges Dreieck ist.

2. Eine Seite ist 30 Meter lang.

3. Eine Seite ist 40 Meter lang.

4. Die dritte Seite ist 55 Meter lang

Das sieht nach einer einfachen Beschreibung eines Stücks Land aus, ohne einen Hauch von rhetorischer Verschönerung oder Übertreibung. Eine elementare Kenntnis der Geometrie (insbesondere des einschlägigen Satzes des Pythagoras) zeigt jedoch, dass es kein rechtwinkliges Dreieck mit den vom Redner erwähnten Abmessungen geben kann. Wenn das, was der Redner sagt, wahr wäre, dann wäre der Satz des Pythagoras falsch! Andererseits, wenn der Satz wahr ist, dann ist mindestens eine seiner Messungen oder seine Beschreibung der Form seines Landes falsch. Wenn wir also vernünftigerweise davon ausgehen, dass das Theorem wahr ist, können wir folgern, dass der Sprecher einen Fehler gemacht oder über das Land, das er angeblich gekauft hat, gelogen hat.

INFERENZEN UND PROOFE

Angenommen, Jane ist eine Schülerin und ihr Lehrer sagt Ihnen, dass alle Schüler in Janes Klasse die Prüfung bestanden haben. Auch wenn der Lehrer es nicht mit so vielen Worten sagt, kannst du daraus schließen, dass Jane die Prüfung bestanden hat. Schließlich ist Jane eine Schülerin in ihrer Klasse.

Voraussetzung 1: Alle Schüler in Janes Klasse haben die Prüfung bestanden.

Voraussetzung 2: Jane ist eine Schülerin in Janes Klasse.
Schlussfolgerung: Jane hat die Prüfung bestanden.

Diese Schlussfolgerung ist gültig. Sie beweist aber nicht, dass Jane die Prüfung bestanden hat. Denn die Aussage, dass Jane die Prüfung bestanden hat, wird lediglich aus der Aussage des Lehrers gefolgert. Hat der Lehrer die Wahrheit gesagt? Angenommen, es stellt sich heraus, dass Jane die Prüfung nicht bestanden hat. Dann können wir beweisen, dass das, was der Lehrer Jane gesagt hat, nicht wahr ist. Der Beweis geht wie folgt:

Fakt 1: Der Lehrer hat gesagt, dass alle Schüler in Janes Klasse die Prüfung bestanden haben.
Fakt 2: Jane ist ein Schüler in Janes Klasse.
Fakt 3: Jane hat die Prüfung nicht bestanden.
Schluss: Mindestens ein Schüler in Janes Klasse hat die Prüfung nicht bestanden.
Folgerung: Es ist nicht wahr, dass alle Schüler in Janes Klasse die Prüfung bestanden haben.
Schlussfolgerung: Was der Lehrer gesagt hat, ist nicht wahr.

Ein anderer Beweis für dieselbe Schlussfolgerung wäre

Fakt 1: Der Lehrer hat gesagt, dass alle Schüler in Janes Klasse die Prüfung bestanden haben.
Fakt 2: Jane ist ein Schüler in Janes Klasse.
Schlussfolgerung: Wenn das, was der Lehrer sagte, wahr wäre, dann hätte Jane die Prüfung bestanden.
Fakt 3: Jane hat die Prüfung nicht bestanden.
Schlussfolgerung: Was der Lehrer gesagt hat, war nicht wahr.

Auch hier wird die Schlussfolgerung gültig aus den Aussagen abgeleitet, die ihr vorausgehen (den Prämissen des Arguments). Da sie aber durch andere gültige Folgerungen aus Tatsachen abgeleitet wird, können wir nun sagen, dass wir einen Beweis dafür haben, dass die Schlussfolgerung wahr ist. Ein Beweis ist eine gültige Schlussfolgerung, die von Tatsachen ausgeht (die durch wahre Aussagen mitgeteilt werden). Gültige Schlüsse können jedoch auch aus Aussagen gezogen werden, die nicht wahr sind.

Ein Beweis ist eindeutig eine gültige Schlussfolgerung, aber nicht jede gültige Schlussfolgerung ist ein Beweis. Betrachten wir

Prämisse 1: Löwen sind Vögel
Prämisse 2: Vögel haben Flügel
Schlussfolgerung: Löwen haben Flügel

Die Schlussfolgerung ist gültig aus den Prämissen abgeleitet, aber wir sollten nicht sagen, dass wir bewiesen haben, dass Löwen Flügel haben. Die Schlussfolgerung ist falsch – und wir können logischerweise nicht behaupten, etwas beweisen zu können, was falsch ist. Betrachte auch

Prämisse 1: Löwen sind Vögel
Prämisse 2: Vögel sind Tiere
Schlussfolgerung: Löwen sind Tiere

Auch hier wird die Schlussfolgerung gültig aus den Prämissen abgeleitet. Diesmal ist die Schlussfolgerung wahr: Löwen sind Tiere. Aber die Schlussfolgerung ist immer noch kein Beweis für die Schlussfolgerung. Eine der Prämissen ist falsch – und wir können logischerweise nicht behaupten, dass eine Falschheit eine Aussage stützt.

Natürlich beweist keine der beiden Schlussfolgerungen, dass ihre Schlussfolgerung wahr ist. Dennoch sind beide gültige Schlussfolgerungen, weil jede der folgenden hypothetischen Aussagen eine Tautologie ist:

• Wenn

Löwen Vögel sind und wenn Vögel Flügel haben, dann haben Löwen Flügel

• Wenn

Löwen Vögel sind und wenn Vögel Tiere sind, dann sind Löwen Tiere

In diesen hypothetischen Aussagen wird nichts über die Wahrheit oder Falschheit der Prämissen oder der Schlussfolgerungen der Schlussfolgerungen gesagt. Die Aussagen behaupten lediglich, dass, wenn die Prämissen wahr sind, auch die Schlussfolgerung wahr ist.

Zum Beispiel ist die Schlussfolgerung über Janes Prüfungsergebnis gültig, weil die folgende hypothetische Aussage eine Tautologie ist:

• Wenn

alle Studenten in Janes Klasse die Prüfung bestanden haben und wenn Jane ein Student in Janes Klasse ist, dann hat Jane die Prüfung bestanden

Auch hier wird nichts über die Wahrheit oder Falschheit der Prämissen oder der Schlussfolgerung der Schlussfolgerung gesagt. Alles, was gesagt wird, ist, dass

• wenn

die Prämissen wahr sind, dann ist die Schlussfolgerung wahr.

Da dieses Muster hier eine Tautologie darstellt, die unabhängig davon, was der Fall sein mag oder nicht, wahr ist, können wir außerdem sagen:

• Wenn

die Prämissen wahr sind, dann muss die Konklusion wahr sein

Da die hypothetischen Aussagen, mit denen wir es hier zu tun haben, Tautologien sind, sind ihre Negationen Widersprüche. In Bezug auf die Schlüsse, die wir als Beispiele genommen haben, erfüllen diese Negationen das Muster

• Die Prämissen sind wahr und die Konklusion ist nicht wahr

Zum Beispiel: „Alle Studenten in Janes Klasse haben die Prüfung bestanden und Jane ist ein Student in Janes Klasse, aber Jane hat die Prüfung nicht bestanden“; „Löwen sind Vögel und Vögel haben Flügel, aber ein Löwe hat keine Flügel“.

Da das besagte Muster hier die Negation einer Tautologie darstellt, stellt es außerdem einen Widerspruch dar:

• Die Aussagen ‚Die Prämissen sind wahr‘ und ‚Die Konklusion ist nicht wahr‘ sind widersprüchlich

Wenn es sich also um eine gültige Schlussfolgerung handelt, kann man logischerweise die Prämissen der Schlussfolgerung nicht bejahen, ohne auch ihre Konklusion zu bejahen. Wenn man die Prämissen einer gültigen Schlussfolgerung bejaht, sich aber weigert, ihre Schlussfolgerung zu bejahen, verwickelt man sich in einen Widerspruch – man hält etwas für wahr, was einfach nicht wahr sein kann. Mit anderen Worten, man verwickelt sich in eine inkohärente Rede.

Aus dem bisher Gesagten ist leicht zu verstehen, wie ein Logiker die Gültigkeit einer Schlussfolgerung überprüft. Er tut dies, indem er versucht, eine Situation zu finden, zu konstruieren oder sich vorzustellen, in der die Prämissen wahr sind, aber die Schlussfolgerung falsch ist. Mit anderen Worten, er versucht, ein Gegenbeispiel zu finden. Gelingt ihm dieser Versuch, so hat er bewiesen, dass die Schlussfolgerung nicht gültig ist.

Allerdings gibt die Tatsache, dass es ihm nicht gelingt, ein Gegenbeispiel zu finden, keinen zwingenden Grund zu sagen, dass er die Gültigkeit der fraglichen Schlussfolgerung bewiesen hat. Es kann sein, dass seine Suche nach einem Gegenbeispiel nicht erschöpfend war – dass er nicht alle Möglichkeiten in Betracht gezogen hat.

Sofern er nicht zeigen kann, dass sein Versuch alle Möglichkeiten in Betracht gezogen hat und daher auf einen Beweis hinausläuft, dass die Suche nach einem Gegenbeispiel vergeblich und hoffnungslos ist, ist sein negatives Ergebnis nicht schlüssig. Kann er dagegen zeigen, dass er alle Möglichkeiten in Betracht gezogen hat und dennoch kein Gegenbeispiel finden konnte, so ist er berechtigt zu sagen, dass es kein Gegenbeispiel geben kann und dass daher die von ihm untersuchte Schlussfolgerung gültig ist.

Daher können wir auch verstehen, dass das logische Denken vor allem darin besteht, alle möglichen Fälle und Zusammenhänge zu berücksichtigen.