In der Mathematik ist die Standardbasis (auch natürliche Basis genannt) eines Koordinatenvektorraums die Menge der Vektoren, deren Koordinaten alle null sind, mit Ausnahme eines Vektors, der gleich 1 ist. Im Fall der euklidischen Ebene, die durch die Paare (x, y) der reellen Zahlen gebildet wird, wird die Standardbasis zum Beispiel durch die Vektoren
e x = ( 1 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 ) gebildet. {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).} 
Analog wird die Standardbasis für den dreidimensionalen Raum durch die Vektoren
e x = ( 1 , 0 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 , 0 ) , e z = ( 0 , 0 , 1 ) gebildet. {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).} 
Hier zeigt der Vektor ex in die x-Richtung, der Vektor ey in die y-Richtung und der Vektor ez in die z-Richtung. Es gibt mehrere gebräuchliche Schreibweisen für Vektoren mit Standardbasis, darunter {ex, ey, ez}, {e1, e2, e3}, {i, j, k} und {x, y, z}. Diese Vektoren werden manchmal mit einem Hut geschrieben, um ihren Status als Einheitsvektoren (Standard-Einheitsvektoren) zu betonen.
Diese Vektoren sind eine Basis in dem Sinne, dass jeder andere Vektor eindeutig als Linearkombination von ihnen ausgedrückt werden kann. Zum Beispiel kann jeder Vektor v im dreidimensionalen Raum eindeutig geschrieben werden als
v x e x + v y e y + v z e z , {\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},} 
die Skalare vx, vy, vz sind die skalaren Komponenten des Vektors v.
Im n-dimensionalen euklidischen Raum R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 
{ e i : 1 ≤ i ≤ n } , {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},} 
wobei ei den Vektor mit einer 1 in der i-ten Koordinate und 0s anderswo bezeichnet.
Standardbasen können auch für andere Vektorräume definiert werden, deren Definition Koeffizienten beinhaltet, wie Polynome und Matrizen. In beiden Fällen besteht die Standardbasis aus den Elementen des Raumes, die so beschaffen sind, dass alle Koeffizienten bis auf einen gleich 0 sind und der Koeffizient, der nicht gleich 0 ist, gleich 1 ist. Für Polynome besteht die Standardbasis also aus den Monomen und wird gemeinhin Monomialbasis genannt. Für Matrizen M m × n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}} 
e 11 = ( 1 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 1 0 0 ) , e 21 = ( 0 0 1 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 0 1 ) gebildet. {\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}
