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Was ist Mathematik? Ein kleiner Einblick in die Geschichte Mathematik als Disziplin Schönheit der Mathematik Problemlösung Abschließende Bemerkungen Was ist Mathematik? Mathematik ist eine alte, breite und tiefe Disziplin (Studienbereich). Wer den Mathematikunterricht verbessern will, muss verstehen: „Was ist Mathematik?“

Ein kleiner Einblick in die Geschichte

Die Mathematik als formales Lehr- und Lerngebiet wurde vor etwa 5.000 Jahren von den Sumerern entwickelt. Sie taten dies zur gleichen Zeit, als sie das Lesen und Schreiben entwickelten. Die Wurzeln der Mathematik reichen jedoch viel weiter zurück als 5.000 Jahre.

Im Laufe ihrer Geschichte waren die Menschen mit der Notwendigkeit konfrontiert, Zeit, Mengen und Entfernungen zu messen und zu kommunizieren. Der Ishango-Knochen (siehe ahttp://www.math.buffalo.edu/mad/
Anti-Afrika/ishango.html und http://www.naturalsciences.be/expo/ishango/
de/ishango/riddle.html) ist ein Werkzeuggriff aus Knochen, der etwa 20.000 Jahre alt ist.

Das untenstehende Bild zeigt sumerische Tonmünzen, deren Verwendung vor etwa 11.000 Jahren begann (siehe http://www.sumerian.org/tokens.htm). Diese Tonmünzen waren ein Vorläufer des Lesens, Schreibens und der Mathematik.

Die Entwicklung des Lesens, Schreibens und der formalen Mathematik vor 5.000 Jahren ermöglichte die Kodifizierung des mathematischen Wissens, den formalen Unterricht in Mathematik und begann eine stetige Anhäufung von mathematischem Wissen.

Mathematik als Disziplin

Eine Disziplin (ein organisiertes, formales Studiengebiet) wie die Mathematik wird in der Regel durch die Art der Probleme definiert, die sie behandelt, die Methoden, die sie zur Lösung dieser Probleme einsetzt, und die Ergebnisse, die sie erzielt hat. Eine Möglichkeit, diese Informationen zu ordnen, besteht darin, sie in die folgenden drei Kategorien zu unterteilen (die sich natürlich überschneiden):

1. Mathematik als menschliches Bestreben. Betrachten wir zum Beispiel die Mathematik der Zeitmessung wie Jahre, Jahreszeiten, Monate, Wochen, Tage und so weiter. Oder denken Sie an die Messung von Entfernungen und die verschiedenen Systeme der Entfernungsmessung, die sich auf der ganzen Welt entwickelt haben. Oder denken Sie an die Mathematik in Kunst, Tanz und Musik. Es gibt eine reiche Geschichte der menschlichen Entwicklung der Mathematik und der mathematischen Anwendungen in unserer modernen Gesellschaft.
2. Mathematik als Disziplin. Du kennst viele akademische Disziplinen wie Archäologie, Biologie, Chemie, Wirtschaft, Geschichte, Psychologie, Soziologie und so weiter. Die Mathematik ist ein breit gefächertes und tiefgründiges Fach, das immer mehr an Breite und Tiefe gewinnt. Heutzutage konzentriert sich eine Dissertation in Mathematik in der Regel auf Definitionen, Theoreme und Beweise zu einem einzigen Problem in einem engen Teilgebiet der Mathematik.
3. Mathematik als interdisziplinäre Sprache und Werkzeug. Wie das Lesen und Schreiben ist die Mathematik ein wichtiger Bestandteil des Lernens und des „Tuns“ (der Anwendung des eigenen Wissens) in jeder akademischen Disziplin. Mathematik ist eine so nützliche Sprache und ein so nützliches Werkzeug, dass sie als eine der „Grundlagen“ in unserem formalen Bildungssystem angesehen wird.

Schüler und viele ihrer Lehrer neigen dazu, Mathematik in erster Linie über das zu definieren, was sie in Mathematikkursen lernen, und diese Kurse konzentrieren sich in der Regel auf die Zahl 3. Der Schwerpunkt des Unterrichts und der Bewertung liegt in der Regel auf den Grundfertigkeiten und auf dem Lösen relativ einfacher Probleme unter Verwendung dieser Grundfertigkeiten. Wie die obige Erörterung der drei Komponenten zeigt, ist dies nur ein Teil der Mathematik.

Selbst innerhalb der dritten Komponente ist nicht klar, was im Lehrplan, im Unterricht und in der Bewertung hervorgehoben werden sollte. Die Frage der Grundfertigkeiten gegenüber den übergeordneten Fertigkeiten ist im Mathematikunterricht besonders wichtig. Wie viel Zeit sollte im Mathematikunterricht darauf verwendet werden, den Schülern zu helfen, ein hohes Maß an Genauigkeit und Automatismus in den grundlegenden rechnerischen und verfahrenstechnischen Fähigkeiten zu erreichen? Wie viel Zeit sollte auf Fähigkeiten höherer Ordnung verwendet werden, wie z. B. Problemstellung, Problemdarstellung, Lösen komplexer Probleme und Übertragung mathematischer Kenntnisse und Fähigkeiten auf Probleme in nicht-mathematischen Disziplinen?

Schönheit der Mathematik

Relativ wenige K-12-Lehrer studieren genug Mathematik, so dass sie die Breite, Tiefe, Komplexität und Schönheit der Disziplin verstehen und schätzen. Mathematiker sprechen oft von der Schönheit eines bestimmten Beweises oder mathematischen Ergebnisses. Können Sie sich daran erinnern, dass einer Ihrer K-12-Mathelehrer jemals über die Schönheit der Mathematik gesprochen hat?

G. H. Hardy war einer der weltweit führenden Mathematiker in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts. In seinem Buch „A Mathematician’s Apology“ geht er ausführlich auf die Unterschiede zwischen reiner und angewandter Mathematik ein. Er erörtert zwei Beispiele für (schöne) rein mathematische Probleme. Es handelt sich dabei um Probleme, die einige Schüler der Mittel- und Oberstufe durchaus lösen könnten, die sich aber deutlich von den Arten von Mathematik unterscheiden, die in unserem derzeitigen K-12-Lehrplan behandelt werden. Beide Probleme wurden vor mehr als 2.000 Jahren gelöst und sind repräsentativ für die Arbeit von Mathematikern.

1. Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann. Beweisen Sie, dass die Quadratwurzel aus 2 keine rationale Zahl ist. Beachte, dass die Quadratwurzel aus 2 auf natürliche Weise entsteht, wenn man Vermessungs- und Zimmermannstechniken anwendet.
2. Eine Primzahl ist eine positive ganze Zahl größer als 1, deren einzige positive ganzzahlige Teiler sie selbst und 1 sind. Beweise, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. In den letzten Jahren haben sich sehr große Primzahlen als sehr nützlich für die Verschlüsselung elektronischer Nachrichten erwiesen.

Problemlösung

Das folgende Diagramm kann verwendet werden, um die Darstellung und Lösung angewandter mathematischer Probleme auf der K-12-Ebene zu diskutieren. Dieses Diagramm ist besonders nützlich bei Diskussionen über den aktuellen K-12-Mathematiklehrplan.

Die sechs dargestellten Schritte sind 1) Problemstellung; 2) Mathematische Modellierung; 3) Verwendung eines rechnerischen oder algorithmischen Verfahrens zur Lösung eines rechnerischen oder algorithmischen mathematischen Problems; 4) Mathematische „Entmodellierung“; 5) Nachdenken über die Ergebnisse, um zu sehen, ob das klar definierte Problem gelöst wurde; und 6) Nachdenken darüber, ob die ursprüngliche Problemsituation gelöst wurde. Die Schritte 5 und 6 beinhalten auch das Nachdenken über verwandte Probleme und Problemsituationen, die man möglicherweise angehen möchte oder die durch den Prozess oder den Versuch, das ursprüngliche, klar definierte Problem zu lösen oder die ursprüngliche Problemsituation zu lösen, entstanden sind. Klicken Sie hier, um weitere Informationen über das Problemlösen zu erhalten.

Abschließende Bemerkungen

Hier sind vier sehr wichtige Punkte, die sich aus der Betrachtung des Diagramms in Abbildung 3 und des zuvor in diesem Abschnitt vorgestellten Materials ergeben:

1. Mathematik ist ein Hilfsmittel, um Problemsituationen in allen Disziplinen darzustellen und zu versuchen, sie zu lösen. Sie ist ein interdisziplinäres Werkzeug und eine interdisziplinäre Sprache.
2. Computer und Taschenrechner sind außerordentlich schnell, genau und fähig, Schritt 3 auszuführen.
3. Unser derzeitiger K-12-Mathematiklehrplan verbringt die meiste Zeit damit, den Schülern beizubringen, Schritt 3 mit den mentalen und physischen Werkzeugen (wie Bleistift und Papier) auszuführen, die seit Hunderten von Jahren verwendet werden. Man kann sich das so vorstellen, dass den Schülern beigebracht wird, mit Maschinen zu konkurrieren, anstatt mit Maschinen zu arbeiten.
4. Unser derzeitiges Bildungssystem für Mathematik auf den Stufen vor der Einschulung ist unausgewogen zwischen den Kenntnissen und Fähigkeiten der unteren Stufe (mit einer viel zu starken Betonung von Schritt 3 im Diagramm) und den Kenntnissen und Fähigkeiten der höheren Stufe (alle anderen Schritte im Diagramm). Es ist schwach in der Mathematik als menschliches Unterfangen und als Studiendisziplin.

Es gibt drei mächtige Veränderungsfaktoren, die schließlich größere Veränderungen in unserem mathematischen Bildungssystem ermöglichen und erzwingen werden.

• Die Hirnforschung, die durch Geräte zum Scannen von Gehirnen und Computerabbildung und Modellierung von Gehirnaktivitäten stark unterstützt wird, trägt wesentlich zu unserem Verständnis darüber bei, wie das Gehirn Mathematik lernt und seine mathematischen Kenntnisse und Fähigkeiten nutzt.
• Die Computer- und Informationstechnologie bietet leistungsstarke Hilfsmittel für viele verschiedene Forschungsbereiche (wie die Hirnforschung), für den Mathematikunterricht (z. B. durch den Einsatz hochgradig interaktiver, intelligenter, computergestützter Lernmethoden, die vielleicht über das Internet bereitgestellt werden), für den Inhalt der Mathematik (z. B. Computermathematik) und für die Darstellung und Automatisierung der „Verfahren“ beim Rechnen.
• Das stetige Wachstum der Gesamtheit des mathematischen Wissens und seiner Anwendungen zur Darstellung und Hilfe bei der Lösung von Problemen in allen akademischen Disziplinen.

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