En mathématiques, la base standard (également appelée base naturelle) d’un espace vectoriel de coordonnées est l’ensemble des vecteurs dont les coordonnées sont toutes nulles, sauf une qui est égale à 1. Par exemple, dans le cas du plan euclidien formé par les paires (x, y) de nombres réels, la base standard est formée par les vecteurs
e x = ( 1 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).} 
De même, la base standard de l’espace à trois dimensions est formée par les vecteurs
e x = ( 1 , 0 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 , 0 ) , e z = ( 0 , 0 , 1 ) . {\displaystyle}{mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad}{mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad}{mathbf {e} _{z}=(0,0,1).} 
Ici le vecteur ex pointe dans la direction x, le vecteur ey pointe dans la direction y, et le vecteur ez pointe dans la direction z. Il existe plusieurs notations courantes pour les vecteurs de base standard, notamment {ex, ey, ez}, {e1, e2, e3}, {i, j, k} et {x, y, z}. Ces vecteurs sont parfois écrits avec un chapeau pour souligner leur statut de vecteurs unitaires (vecteurs unitaires standard).
Ces vecteurs constituent une base dans le sens où tout autre vecteur peut être exprimé de manière unique comme une combinaison linéaire de ceux-ci. Par exemple, chaque vecteur v dans l’espace tridimensionnel peut être écrit de manière unique comme
v x e x + v y e y + v z e z , {\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},} 
les scalaires vx, vy, vz étant les composantes scalaires du vecteur v.
Dans l’espace euclidien à n dimensions R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 
{e i : 1 ≤ i ≤ n }. , {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},} 
où ei désigne le vecteur avec un 1 dans la ième coordonnée et des 0 ailleurs.
Des bases standard peuvent être définies pour d’autres espaces vectoriels, dont la définition fait intervenir des coefficients, comme les polynômes et les matrices. Dans les deux cas, la base standard est constituée des éléments de l’espace tels que tous les coefficients sauf un sont égaux à 0 et celui qui n’est pas nul est égal à 1. Pour les polynômes, la base standard est donc constituée des monomiaux et est communément appelée base monomiale. Pour les matrices M m × n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}} 
e 11 = ( 1 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 1 0 0 ) , e 21 = ( 0 0 1 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix},\quad \mathbf {e} _{21}={but{pmatrix}0&0\1&0\end{pmatrix},\quad \mathbf {e} _{22}={but{pmatrix}0&0\0&1\end{pmatrix}.}
