La plupart des tablettes d’argile qui décrivent les mathématiques babyloniennes appartiennent à l’ancienne Babylone, c’est pourquoi les mathématiques de la Mésopotamie sont communément appelées mathématiques babyloniennes. Certaines tablettes d’argile contiennent des listes et des tableaux mathématiques, d’autres des problèmes et des solutions travaillées.
ArithmétiqueEdit
Les Babyloniens utilisaient des tables précalculées pour aider à l’arithmétique. Par exemple, deux tablettes découvertes à Senkerah sur l’Euphrate en 1854, datant de 2000 avant JC, donnent des listes des carrés des nombres jusqu’à 59 et des cubes des nombres jusqu’à 32. Les Babyloniens utilisaient les listes de carrés ainsi que les formules:
a b = ( a + b ) 2 – a 2 – b 2 2 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}}.
a b = ( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 4 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}
pour simplifier la multiplication.
Les Babyloniens n’avaient pas d’algorithme pour la division longue. Au lieu de cela, ils ont basé leur méthode sur le fait que:
a b = a × 1 b {\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}.
avec une table des réciproques. Les nombres dont les seuls facteurs premiers sont 2, 3 ou 5 (connus sous le nom de nombres lisses ou réguliers à 5) ont des réciproques finies en notation sexagésimale, et on a trouvé des tableaux avec des listes étendues de ces réciproques.
Les réciproques telles que 1/7, 1/11, 1/13, etc. n’ont pas de représentations finies en notation sexagésimale. Pour calculer 1/13 ou pour diviser un nombre par 13, les Babyloniens utilisaient une approximation telle que :
1 13 = 7 91 = 7 × 1 91 ≈ 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600 . {\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.}
AlgebraEdit
La tablette d’argile babylonienne YBC 7289 (vers 1800-1600 av. J.-C.) donne une approximation de √2 en quatre chiffres sexagésimaux, 1;24,51,10, qui est précise à environ six chiffres décimaux, et constitue la représentation sexagésimale à trois places la plus proche possible de √2:
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 = 1,41421 296 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}+{\frac {10}{60^{3}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.}
En plus des calculs arithmétiques, les mathématiciens babyloniens ont également développé des méthodes algébriques de résolution d’équations. Encore une fois, celles-ci étaient basées sur des tables précalculées.
Pour résoudre une équation quadratique, les Babyloniens utilisaient essentiellement la formule quadratique standard. Ils considéraient les équations quadratiques de la forme:
x 2 + b x = c {\displaystyle \ x^{2}+bx=c}.
où b et c n’étaient pas nécessairement des entiers, mais c était toujours positif. Ils savaient qu’une solution à cette forme d’équation est :
x = – b 2 + ( b 2 ) 2 + c {\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}}.
et ils trouvaient des racines carrées efficacement en utilisant la division et la moyenne. Ils utilisaient toujours la racine positive car cela avait du sens pour résoudre des problèmes « réels ». Les problèmes de ce type comprenaient la recherche des dimensions d’un rectangle étant donné son aire et la quantité par laquelle la longueur dépasse la largeur.
Des tableaux de valeurs de n3 + n2 étaient utilisés pour résoudre certaines équations cubiques. Par exemple, considérons l’équation :
a x 3 + b x 2 = c . {\displaystyle } ax^{3}+bx^{2}=c.}
Multiplier l’équation par a2 et diviser par b3 donne:
( a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 . {\displaystyle}\La gauche ({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\La gauche ({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}.}
Substituer y = ax/b donne:
y 3 + y 2 = c a 2 b 3 {\displaystyle y^{3}+y^{2}={frac {ca^{2}}{b^{3}}}}
qui pouvait maintenant être résolu en consultant la table n3 + n2 pour trouver la valeur la plus proche du côté droit. Les Babyloniens ont accompli cela sans notation algébrique, démontrant ainsi une remarquable profondeur de compréhension. Cependant, ils n’avaient pas de méthode pour résoudre l’équation cubique générale.
CroissanceEdit
Les Babyloniens ont modélisé la croissance exponentielle, la croissance contrainte (via une forme de fonctions sigmoïdes), et le temps de doublement, ce dernier dans le contexte des intérêts sur les prêts.
Les tablettes d’argile datant d’environ 2000 avant notre ère comprennent l’exercice « Étant donné un taux d’intérêt de 1/60 par mois (pas de composition), calculez le temps de doublement. » Cela donne un taux d’intérêt annuel de 12/60 = 20%, et donc un temps de doublement de 100% de croissance/20% de croissance par an = 5 ans.
Plimpton 322Edit
La tablette Plimpton 322 contient une liste de « triples pythagoriciens », c’est-à-dire d’entiers ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)}.
tels que a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
.Les triples sont trop nombreux et trop grands pour avoir été obtenus par force brute.
On a beaucoup écrit sur le sujet, y compris des spéculations (peut-être anachroniques) sur la possibilité que la tablette ait pu servir de table trigonométrique précoce. Il faut faire attention à voir la tablette en termes de méthodes familières ou accessibles aux scribes de l’époque.
la question « comment la tablette a été calculée ? » n’a pas à avoir la même réponse que la question « quels problèmes la tablette pose-t-elle ? ». On peut répondre à la première de manière plus satisfaisante par des paires réciproques, comme cela a été suggéré pour la première fois il y a un demi-siècle, et à la seconde par une sorte de problèmes de triangle rectangle.
(E. Robson, « Neither Sherlock Holmes nor Babylon : a reassessment of Plimpton 322 », Historia Math. 28 (3), p. 202).
GéométrieEdit
Les Babyloniens connaissaient les règles communes de mesure des volumes et des aires. Ils mesuraient la circonférence d’un cercle comme trois fois le diamètre et l’aire comme un douzième du carré de la circonférence, ce qui serait correct si π est estimé à 3. Ils étaient conscients qu’il s’agissait d’une approximation, et une tablette mathématique de l’ancienne Babylone fouillée près de Suse en 1936 (datée entre les 19e et 17e siècles avant notre ère) donne une meilleure approximation de π comme 25/8 = 3.Le volume d’un cylindre était considéré comme le produit de la base et de la hauteur, mais le volume du tronc d’un cône ou d’une pyramide carrée était considéré à tort comme le produit de la hauteur et de la moitié de la somme des bases. Le théorème de Pythagore était également connu des Babyloniens.
Le « mile babylonien » était une mesure de distance égale à environ 11,3 km (ou environ sept miles modernes).Cette mesure des distances a finalement été convertie en un « mile-temps » utilisé pour mesurer le déplacement du Soleil, représentant donc le temps.
Les anciens Babyloniens connaissaient les théorèmes concernant les rapports des côtés de triangles similaires depuis de nombreux siècles, mais ils n’avaient pas le concept d’une mesure d’angle et par conséquent, étudiaient les côtés des triangles à la place.
Les astronomes babyloniens tenaient des registres détaillés du lever et du coucher des étoiles, du mouvement des planètes et des éclipses solaires et lunaires, ce qui nécessitait une bonne connaissance des distances angulaires mesurées sur la sphère céleste.
Ils utilisaient également une forme d’analyse de Fourier pour calculer les éphémérides (tables de positions astronomiques), qui a été découverte dans les années 1950 par Otto Neugebauer. Pour effectuer les calculs des mouvements des corps célestes, les Babyloniens utilisaient une arithmétique de base et un système de coordonnées basé sur l’écliptique, la partie du ciel que le soleil et les planètes traversent.
Des tablettes conservées au British Museum apportent la preuve que les Babyloniens allaient même jusqu’à avoir un concept d’objets dans un espace mathématique abstrait. Les tablettes datent d’entre 350 et 50 avant notre ère, révélant que les Babyloniens comprenaient et utilisaient la géométrie encore plus tôt qu’on ne le pensait. Les Babyloniens utilisaient une méthode d’estimation de l’aire sous une courbe en dessinant un trapèze en dessous, une technique dont on pensait jusqu’à présent qu’elle provenait de l’Europe du 14e siècle. Cette méthode d’estimation leur permettait, par exemple, de trouver la distance que Jupiter avait parcourue en un certain temps.