Une matrice qui est semblable à une matrice triangulaire est dite triangularisable. Abstraitement, cela revient à stabiliser un drapeau : les matrices triangulaires supérieures sont précisément celles qui préservent le drapeau standard, qui est donné par la base ordonnée standard ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}.
et le drapeau résultant 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1 , … , e n ⟩ = K n . {\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}
Tous les drapeaux sont conjugués (car le groupe linéaire général agit transitivement sur les bases), donc toute matrice qui stabilise un drapeau est semblable à celle qui stabilise le drapeau standard.
Toute matrice carrée complexe est triangularisable. En fait, une matrice A sur un champ contenant toutes les valeurs propres de A (par exemple, toute matrice sur un champ algébriquement fermé) est semblable à une matrice triangulaire. Cela peut être prouvé en utilisant l’induction sur le fait que A a un vecteur propre, en prenant l’espace quotient par le vecteur propre et en induisant pour montrer que A stabilise un drapeau, et est donc triangularisable par rapport à une base pour ce drapeau.
Un énoncé plus précis est donné par le théorème de la forme normale de Jordan, qui stipule que dans cette situation, A est similaire à une matrice triangulaire supérieure d’une forme très particulière. Le résultat de triangularisation plus simple est souvent suffisant cependant, et en tout cas utilisé pour prouver le théorème de la forme normale de Jordan.
Dans le cas des matrices complexes, il est possible d’en dire plus sur la triangularisation, à savoir que toute matrice carrée A a une décomposition de Schur. Cela signifie que A est unitairement équivalente (c’est-à-dire similaire, en utilisant une matrice unitaire comme changement de base) à une matrice triangulaire supérieure ; cela s’ensuit en prenant une base hermitienne pour le drapeau.
Triangularisabilité simultanéeEdit
Ensemble de matrices A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}.
sont dites triangularisables simultanément s’il existe une base sous laquelle elles sont toutes triangulaires supérieures ; de manière équivalente, si elles sont triangularisables supérieures par une seule matrice de similarité P. Un tel ensemble de matrices est plus facilement compris en considérant l’algèbre de matrices qu’il génère, à savoir tous les polynômes dans les A i , {\displaystyle A_{i},}
notés K . {\displaystyle K.}
La triangularisabilité simultanée signifie que cette algèbre est conjuguée dans la sous-algèbre de Lie des matrices triangulaires supérieures, et est équivalente à ce que cette algèbre soit une sous-algèbre de Lie d’une sous-algèbre de Borel.
Le résultat de base est que (sur un champ algébriquement fermé), les matrices commuantes A , B {\displaystyle A,B}
ou plus généralement A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}}
sont simultanément triangularisables. Ceci peut être prouvé en montrant d’abord que les matrices commuantes ont un vecteur propre commun, puis en induisant sur la dimension comme précédemment. Cela a été prouvé par Frobenius, à partir de 1878 pour une paire commutative, comme discuté à matrices commutatives. Comme pour une matrice unique, sur les nombres complexes, ceux-ci peuvent être triangularisés par des matrices unitaires.
Le fait que les matrices commutatives aient un vecteur propre commun peut être interprété comme un résultat du Nullstellensatz de Hilbert : les matrices commutatives forment une algèbre commutative K {\displaystyle K}
sur K {\displaystyle K}
qui peut être interprétée comme une variété dans un espace affine à k dimensions, et l’existence d’une valeur propre (commune) (et donc d’un vecteur propre commun) correspond à cette variété ayant un point (étant non vide), ce qui est le contenu du Nullstellensatz (faible). En termes algébriques, ces opérateurs correspondent à une représentation algébrique de l’algèbre polynomiale en k variables.
Ceci est généralisé par le théorème de Lie, qui montre que toute représentation d’une algèbre de Lie solvable est simultanément triangularisable supérieure, le cas des matrices commuantes étant le cas des algèbres de Lie abéliennes, abéliennes étant a fortiori solvables.
Plus généralement et précisément, un ensemble de matrices A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}}.
est triangularisable simultanément si et seulement si la matrice p ( A 1 , … , A k ) {\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})}
est nilpotente pour tous les polynômes p en k variables non commutatives, où {\displaystyle }
est le commutateur ; pour les A i commutés {\displaystyle A_{i}}
le commutateur disparaît donc ceci est valable. Ceci a été prouvé dans (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951) ; une brève preuve est donnée dans (Prasolov 1994, pp. 178-179). Une direction est claire : si les matrices sont simultanément triangularisables, alors {\displaystyle }
est strictement triangularisable supérieurement (donc nilpotente), ce qui est préservé par la multiplication par tout A k {\displaystyle A_{k}}.
ou une combinaison de ceux-ci – il aura toujours des 0 sur la diagonale dans la base de triangularisation.