Nuñez est né à Colón, à Cuba. La mère de Nunez, dentiste, et son père, avocat, ont fréquenté l’université de La Havane alors que Fidel Castro y était étudiant. Vers 1960, la famille s’installe d’abord à Caracas, au Venezuela, puis aux États-Unis. Sa famille déménage à Boston quand il a deux ans, puis à Union City, New Jersey, quand il a quatre ans. Il a été naturalisé citoyen américain en 1964. Il est bilingue en anglais et en espagnol. Nunez a fréquenté divers collèges à New York, notamment le Fashion Institute of Technology et la Parsons School of Design pour l’écriture, et est devenu un technicien dentaire certifié après avoir étudié à l’Institut Magna de technologie dentaire.
Nunez a commencé sa carrière de comédien à New York, en jouant plus de 300 spectacles avec la compagnie théâtrale The Shock of the Funny. La troupe a été active dans l’East Village pendant plusieurs années. En plus de son travail avec Shock, Nunez s’est produit au théâtre à New York et à Washington, D.C. avant de déménager à Los Angeles au milieu des années 1990. À LA, il a rejoint The Groundlings et a joué dans leur Sunday Company. Pendant son séjour au Groundlings, il a écrit et joué dans une production intitulée « Smooth Down There ».
En 1997, Nunez est diplômé du Warner Brothers Comedy Writer’s Workshop. En 1999, il a été finaliste du ABC Latino Writers Project.
En 1998, il est apparu dans le jeu télévisé Match Game mais n’a pas été gagnant.
Nunez a été la doublure d’Adam Carolla dans The Man Show.
Les crédits télévisés de Nunez comprennent Malcolm in the Middle, 24, Curb Your Enthusiasm, Reno 911 !, The District et Mad TV, en plus de son rôle dans The Office. Il a également été le créateur et le producteur exécutif de la série de Comedy Central Halfway Home, dans laquelle il partageait la vedette avec le personnage d’Eulogio Pla.
Au cinéma, il a notamment joué dans The Italian Job (en tant qu’agent de sécurité), Reno 911 ! Miami, et When Do We Eat ? En 2009, Nunez a joué le rôle de Ramon, le traiteur, le stripteaseur, l’abruti de soda et finalement le clergé qui célèbre la cérémonie de mariage dans La Proposition. En 2012, Nunez a joué le rôle de Jose Baez, un avocat dans le film de Lifetime Prosecuting Casey Anthony.
Nunez est apparu comme l’un des huit juges du concours Miss USA 2010, posant une question sur la loi sur les sans-papiers de l’Arizona à Miss Oklahoma USA, Morgan Elizabeth Woolard. Nunez a été hué par le public avant de terminer sa question, mais il a demandé au public d’attendre qu’il ait terminé sa question avant de réagir. Bien que Woolard ait répondu qu’elle soutient la loi comme une question de droits de l’État, elle a ajouté qu’elle est contre le profilage racial.
En 2014, Nunez a joué aux côtés d’Eliza Coupe et Jay Harrington dans la série comique éphémère de USA Network, Benched.
En 2016, Nunez est apparu en tant que régulier dans la série comique de TBS, People of Earth, sur TBS.
En 2018, Nunez a incarné l’agent d’assurance State Farm Cole Perez dans une série de publicités.
En juillet 2018, Nunez a endossé le rôle de Desi Arnaz, en vedette dans la première production mondiale de I Love Lucy : A Funny Thing Happened on the Way to the Sitcom, une comédie scénique sur les coulisses de I Love Lucy par Gregg Oppenheimer (fils du créateur de la série Jess Oppenheimer). Enregistrée devant un public en direct au James Bridges Theater de l’UCLA, la production de L.A. Theatre Works a été diffusée à la radio publique et a été publiée sur CD audio et sous forme de mp3 téléchargeable.
En ce moment, Nunez joue le rôle de M. Hernandez dans l’original de Netflix, Mr. Iglesias.