Qu’est-ce que les mathématiques ?Les mathématiques sont une discipline (domaine d’étude) ancienne, large et profonde. Les personnes qui travaillent à améliorer l’enseignement des mathématiques doivent comprendre « Qu’est-ce que les mathématiques ? » |
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Un petit bout d’histoire
Les mathématiques en tant que domaine formel d’enseignement et d’apprentissage ont été développées il y a environ 5 000 ans par les Sumériens. Ils l’ont fait en même temps qu’ils ont développé la lecture et l’écriture. Cependant, les racines des mathématiques remontent à bien plus de 5 000 ans.
Tout au long de leur histoire, les humains ont été confrontés à la nécessité de mesurer et de communiquer sur le temps, la quantité et la distance. L’os d’Ishango (voir ahttp://www.math.buffalo.edu/mad/
Ancienne-Afrique/ishango.html et http://www.naturalsciences.be/expo/ishango/
fr/ishango/riddle.html) est un manche d’outil en os vieux d’environ 20 000 ans.
Figure 1
L’image donnée ci-dessous montre des jetons d’argile sumériens dont l’utilisation a commencé il y a environ 11 000 ans (voir http://www.sumerian.org/tokens.htm). Ces jetons d’argile étaient un prédécesseur de la lecture, de l’écriture et des mathématiques.
Figure 2
Le développement de la lecture, de l’écriture et des mathématiques formelles il y a 5 000 ans a permis la codification des connaissances mathématiques, l’enseignement formel des mathématiques et a commencé une accumulation régulière de connaissances mathématiques.
Les mathématiques en tant que discipline
Une discipline (un domaine d’étude organisé et formel) comme les mathématiques tend à être définie par les types de problèmes qu’elle aborde, les méthodes qu’elle utilise pour aborder ces problèmes et les résultats qu’elle a obtenus. Une façon d’organiser cet ensemble d’informations est de le diviser en trois catégories suivantes (bien sûr, elles se chevauchent):
- Les mathématiques en tant qu’entreprise humaine. Par exemple, considérez les mathématiques de la mesure du temps comme les années, les saisons, les mois, les semaines, les jours, et ainsi de suite. Ou, considérez la mesure de la distance, et les différents systèmes de mesure de la distance qui se sont développés à travers le monde. Ou encore, pensez aux mathématiques dans l’art, la danse et la musique. Il y a une riche histoire du développement humain des mathématiques et des utilisations mathématiques dans notre société moderne.
- Les mathématiques comme discipline. Vous êtes familier avec beaucoup de disciplines académiques telles que l’archéologie, la biologie, la chimie, l’économie, l’histoire, la psychologie, la sociologie, et ainsi de suite. Les mathématiques sont une discipline vaste et profonde qui ne cesse de croître en largeur et en profondeur. De nos jours, une thèse de recherche de doctorat en mathématiques est généralement étroitement axée sur les définitions, les théorèmes et les preuves liés à un seul problème dans un sous-domaine étroit des mathématiques.
- Les mathématiques comme langage et outil interdisciplinaire. Comme la lecture et l’écriture, les mathématiques sont une composante importante de l’apprentissage et du « faire » (utiliser ses connaissances) dans chaque discipline académique. Les mathématiques sont un langage et un outil si utiles qu’elles sont considérées comme l’une des « bases » de notre système éducatif formel.
Dans une large mesure, les élèves et beaucoup de leurs enseignants ont tendance à définir les mathématiques en fonction de ce qu’ils apprennent dans les cours de mathématiques, et ces cours ont tendance à se concentrer sur le numéro 3. L’enseignement et l’évaluation tendent à se concentrer sur les compétences de base et sur la résolution de problèmes relativement simples à l’aide de ces compétences de base. Comme l’indique la discussion sur les trois composantes donnée ci-dessus, ce n’est qu’une partie des mathématiques.
Même dans la troisième composante, il n’est pas clair ce qui devrait être mis en valeur dans le programme d’études, l’enseignement et l’évaluation. La question des compétences de base par rapport aux compétences d’ordre supérieur est particulièrement importante dans l’enseignement des mathématiques. Quelle part du temps consacré à l’enseignement des mathématiques devrait être consacrée à aider les élèves à acquérir un haut niveau de précision et d’automaticité dans les compétences de base en matière de calcul et de procédures ? Combien de temps devrait être consacré aux compétences d’ordre supérieur telles que la pose de problèmes, la représentation de problèmes, la résolution de problèmes complexes et le transfert de connaissances et de compétences mathématiques à des problèmes dans des disciplines non mathématiques ?
Beauté des mathématiques
Relativement peu d’enseignants de la maternelle à la 12e année étudient suffisamment les mathématiques pour comprendre et apprécier l’ampleur, la profondeur, la complexité et la beauté de la discipline. Les mathématiciens parlent souvent de la beauté d’une preuve ou d’un résultat mathématique particulier. Vous souvenez-vous que l’un de vos professeurs de mathématiques de la maternelle à la 12e année ait déjà parlé de la beauté des mathématiques ?
G. H. Hardy était l’un des principaux mathématiciens du monde dans la première moitié du 20e siècle. Dans son livre « A Mathematician’s Apology », il s’étend longuement sur les différences entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées. Il évoque deux exemples de (beaux) problèmes de mathématiques pures. Il s’agit de problèmes que certains élèves de collège et de lycée pourraient bien résoudre, mais qui sont très différents des types de mathématiques abordés dans notre programme actuel de la maternelle à la 12e année. Ces deux problèmes ont été résolus il y a plus de 2 000 ans et sont représentatifs de ce que font les mathématiciens.
- Un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé comme une fraction de deux entiers. Prouvez que la racine carrée de 2 n’est pas un nombre rationnel. Notez que la racine carrée de 2 se présente de manière naturelle lorsqu’on utilise des techniques d’arpentage et de charpentage.
- Un nombre premier est un entier positif supérieur à 1 dont les seuls diviseurs entiers positifs sont lui-même et 1. Prouvez qu’il existe un nombre infini de nombres premiers. Ces dernières années, les très grands nombres premiers sont apparus comme étant assez utiles pour le cryptage des messages électroniques.
Résolution de problèmes
Le diagramme suivant peut être utilisé pour discuter de la représentation et de la résolution de problèmes de mathématiques appliquées au niveau K-12. Ce diagramme est particulièrement utile dans les discussions sur le programme actuel de mathématiques de la maternelle à la 12e année.
Figure 3
Les six étapes illustrées sont les suivantes : 1) Pose du problème ; 2) Modélisation mathématique ; 3) Utilisation d’une procédure computationnelle ou algorithmique pour résoudre un problème mathématique computationnel ou algorithmique ; 4) « dé-modélisation » mathématique ; 5) Réflexion sur les résultats pour voir si le problème clairement défini a été résolu ; et 6) Réflexion pour savoir si la situation problématique initiale a été résolue. Les étapes 5 et 6 impliquent également de réfléchir aux problèmes et situations problématiques connexes que l’on pourrait vouloir aborder ou qui sont créés par le processus ou la tentative de résolution du problème initial clairement défini ou la résolution de la situation problématique initiale. Cliquez ici pour plus d’informations sur la résolution de problèmes.
Remarques finales
Voici quatre points très importants qui ressortent de l’examen du diagramme de la figure 3 et du matériel antérieur présenté dans cette section :
- Les mathématiques sont une aide pour représenter et tenter de résoudre des situations problématiques dans toutes les disciplines. C’est un outil et un langage interdisciplinaire.
- Les ordinateurs et les calculatrices sont excessivement rapides, précis et capables de faire l’étape 3.
- Notre programme actuel de mathématiques de la maternelle à la 12e année passe la majorité de son temps à enseigner aux élèves à faire l’étape 3 en utilisant les outils mentaux et physiques (comme le crayon et le papier) qui ont été utilisés pendant des centaines d’années. Nous pouvons penser que cela revient à enseigner aux élèves à rivaliser avec des machines, plutôt qu’à travailler avec des machines.
- Notre système actuel d’enseignement des mathématiques aux niveaux pré-K-12 est déséquilibré entre les connaissances et les compétences d’ordre inférieur (en mettant beaucoup trop l’accent sur l’étape n°3 du diagramme) et les connaissances et les compétences d’ordre supérieur (toutes les autres étapes du diagramme). Il est faible en mathématiques en tant qu’entreprise humaine et en tant que discipline d’étude.
Il y a trois agents de changement puissants qui finiront par faciliter et forcer des changements majeurs dans notre système d’enseignement des mathématiques.
- La science du cerveau, qui est grandement aidée par l’équipement de balayage du cerveau et la cartographie et la modélisation par ordinateur des activités cérébrales, ajoute considérablement à notre compréhension de la façon dont le cerveau apprend les mathématiques et utilise ses connaissances et compétences mathématiques.
- Les technologies de l’informatique et de l’information fournissent des aides puissantes à de nombreux domaines de recherche différents (tels que la science du cerveau), à l’enseignement des mathématiques (par exemple, par l’utilisation d’un apprentissage intelligent hautement interactif assisté par ordinateur, peut-être fourni par Internet), au contenu des mathématiques (par exemple, les mathématiques computationnelles), et à la représentation et à l’automatisation de la partie « procédures » de la pratique des mathématiques.
- La croissance constante de la totalité des connaissances mathématiques et de leurs applications pour représenter et aider à résoudre des problèmes dans toutes les disciplines académiques.
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