La mayoría de las tablillas de arcilla que describen las matemáticas babilónicas pertenecen a la Antigua Babilonia, por lo que las matemáticas de Mesopotamia se conocen comúnmente como matemáticas babilónicas. Algunas tablillas de arcilla contienen listas y tablas matemáticas, otras contienen problemas y soluciones trabajadas.
AritméticaEditar
Los babilonios utilizaban tablas precalculadas para ayudarse con la aritmética. Por ejemplo, dos tablillas encontradas en Senkerah, en el Éufrates, en 1854, que datan del año 2000 a.C., dan listas de los cuadrados de los números hasta el 59 y de los cubos de los números hasta el 32. Los babilonios utilizaban las listas de cuadrados junto con las fórmulas:
a b = ( a + b ) 2 – a 2 – b 2 2 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}{2}}
a b = ( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 4 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}} {4}
para simplificar la multiplicación.
Los babilonios no tenían un algoritmo para la división larga. En su lugar, basaban su método en el hecho de que:
a b = a × 1 b {\displaystyle {\frac {a}{b}}=a veces {\frac {1}{b}}
junto con una tabla de recíprocos. Los números cuyos únicos factores primos son 2, 3 o 5 (conocidos como números 5-suaves o regulares) tienen recíprocos finitos en notación sexagesimal, y se han encontrado tablas con extensas listas de estos recíprocos.
Reciprocales como 1/7, 1/11, 1/13, etc. no tienen representaciones finitas en notación sexagesimal. Para calcular 1/13 o para dividir un número entre 13 los babilonios utilizarían una aproximación como:
1 13 = 7 91 = 7 × 1 91 ≈ 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600 . {\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7{\frac {1}{91}}aproximadamente 7{\frac {1}{90}}=7{\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}+{\frac {40}{3600}}.
AlgebraEdit
La tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 (c. 1800-1600 a.C.) da una aproximación de √2 en cuatro cifras sexagesimales, 1;24,51,10, que es precisa hasta unos seis dígitos decimales, y es la representación sexagesimal de tres posiciones más cercana posible de √2:
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 = 1,41421 296 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}+{\frac {51}{60^{2}}+{{\frac {10}{60^{3}}={{\frac {30547}{21600}}=1,41421{\overline {296}}.
Además de los cálculos aritméticos, los matemáticos babilónicos también desarrollaron métodos algebraicos para resolver ecuaciones. Una vez más, éstos se basaban en tablas precalculadas.
Para resolver una ecuación cuadrática, los babilonios utilizaban esencialmente la fórmula cuadrática estándar. Consideraban ecuaciones cuadráticas de la forma:
x 2 + b x = c {\displaystyle \ x^{2}+bx=c}
donde b y c no eran necesariamente enteros, pero c era siempre positivo. Sabían que una solución a esta forma de ecuación es:
x = – b 2 + ( b 2 ) 2 + c {\displaystyle x=-{{frac {b}{2}}+{{\sqrt {\left({\frac {b}{2}\right)^{2}+c}}
y encontraban las raíces cuadradas de forma eficiente utilizando la división y el promedio. Siempre utilizaban la raíz positiva porque esto tenía sentido al resolver problemas «reales». Los problemas de este tipo incluían encontrar las dimensiones de un rectángulo dada su área y la cantidad en que la longitud excede a la anchura.
Las tablas de valores de n3 + n2 se utilizaban para resolver ciertas ecuaciones cúbicas. Por ejemplo, considere la ecuación:
a x 3 + b x 2 = c . {\displaystyle \\N- ax^{3}+bx^{2}=c.}
Multiplicando la ecuación por a2 y dividiendo por b3 se obtiene:
( a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 . {\displaystyle \left({\frac {ax}{b}\right)^{3}+left({\frac {ax}{b}\right)^{2}={\frac {ca^{2}{b^{3}}.}
Sustituyendo y = ax/b da:
y 3 + y 2 = c a 2 b 3 {\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}}
que ahora podía resolverse consultando la tabla n3 + n2 para encontrar el valor más cercano al lado derecho. Los babilonios lograron esto sin notación algebraica, mostrando una notable profundidad de entendimiento. Sin embargo, no disponían de un método para resolver la ecuación cúbica general.
CrecimientoEditar
Los babilonios modelaron el crecimiento exponencial, el crecimiento restringido (a través de una forma de funciones sigmoideas) y el tiempo de duplicación, este último en el contexto de los intereses de los préstamos.
Las tablillas de arcilla de alrededor del año 2000 a.C. incluyen el ejercicio «Dado un tipo de interés de 1/60 por mes (sin composición), calcula el tiempo de duplicación.» Esto da un tipo de interés anual de 12/60 = 20%, y por lo tanto un tiempo de duplicación del 100% de crecimiento/20% de crecimiento por año = 5 años.
Plimpton 322Editar
La tablilla Plimpton 322 contiene una lista de «triples pitagóricos», es decir, enteros ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)}
tales que a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
.Los triples son demasiados y demasiado grandes para haberlos obtenido por fuerza bruta.
Se ha escrito mucho sobre el tema, incluyendo algunas especulaciones (quizás anacrónicas) sobre si la tablilla podría haber servido como una tabla trigonométrica temprana. Hay que tener cuidado de ver la tablilla en términos de métodos familiares o accesibles para los escribas de la época.
La pregunta «¿cómo se calculó la tablilla?» no tiene por qué tener la misma respuesta que la pregunta «¿qué problemas plantea la tablilla?». La primera puede responderse de forma más satisfactoria mediante pares recíprocos, como se sugirió por primera vez hace medio siglo, y la segunda mediante algún tipo de problemas de triángulos rectos.
(E. Robson, «Ni Sherlock Holmes ni Babilonia: una reevaluación de Plimpton 322», Historia Math. 28 (3), p. 202).
GeometríaEditar
Los babilonios conocían las reglas comunes para medir volúmenes y áreas. Medían la circunferencia de un círculo como el triple del diámetro y el área como la doceava parte del cuadrado de la circunferencia, lo que sería correcto si se estima que π es 3. Eran conscientes de que se trataba de una aproximación, y una tablilla matemática de la antigua Babilonia excavada cerca de Susa en 1936 (datada entre los siglos XIX y XVII a.C.) da una mejor aproximación de π como 25/8 = 3.El volumen de un cilindro se tomaba como el producto de la base y la altura, pero el volumen de un cono o una pirámide cuadrada se tomaba incorrectamente como el producto de la altura y la mitad de la suma de las bases. El teorema de Pitágoras también era conocido por los babilonios.
La «milla babilónica» era una medida de distancia equivalente a unos 11,3 km (o a unas siete millas modernas).Esta medida para las distancias acabó convirtiéndose en una «milla de tiempo» utilizada para medir el recorrido del Sol, por tanto, representando el tiempo.
Los antiguos babilonios conocían los teoremas relativos a los cocientes de los lados de triángulos semejantes desde hacía muchos siglos, pero carecían del concepto de medida de ángulos y, en consecuencia, estudiaban los lados de los triángulos.
Los astrónomos babilónicos llevaban un registro detallado de la salida y puesta de las estrellas, del movimiento de los planetas y de los eclipses solares y lunares, todo lo cual requería estar familiarizado con las distancias angulares medidas en la esfera celeste.
También utilizaban una forma de análisis de Fourier para calcular efemérides (tablas de posiciones astronómicas), que fue descubierta en la década de 1950 por Otto Neugebauer. Para calcular los movimientos de los cuerpos celestes, los babilonios utilizaban la aritmética básica y un sistema de coordenadas basado en la eclíptica, la parte del cielo que recorren el sol y los planetas.
Las tablillas conservadas en el Museo Británico demuestran que los babilonios llegaron a tener un concepto de los objetos en un espacio matemático abstracto. Las tablillas datan de entre el 350 y el 50 a.C., lo que revela que los babilonios comprendían y utilizaban la geometría incluso antes de lo que se pensaba. Los babilonios utilizaban un método para estimar el área bajo una curva dibujando un trapecio por debajo, una técnica que hasta ahora se creía originada en la Europa del siglo XIV. Este método de estimación les permitía, por ejemplo, encontrar la distancia que Júpiter había recorrido en un tiempo determinado.