Una matriz que es similar a una matriz triangular se denomina triangularizable. Abstractamente, esto equivale a estabilizar una bandera: las matrices triangulares superiores son precisamente las que preservan la bandera estándar, que viene dada por la base estándar ordenada ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}
y la bandera resultante 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1 , … , e n ⟩ = K n . {\displaystyle 0< {Izquierda del ángulo de e_{1} {Derecho del ángulo} < {Izquierda del ángulo de e_{1},e_{2} {Derecho del ángulo} < {Derecho del ángulo de e_{1},\ldots ,e_{n} {Derecho del ángulo} =K^{n}.}
Todas las banderas son conjugadas (ya que el grupo lineal general actúa transitivamente sobre las bases), por lo que cualquier matriz que estabilice una bandera es similar a una que estabilice la bandera estándar.
Cualquier matriz cuadrada compleja es triangularizable. De hecho, una matriz A sobre un campo que contiene todos los valores propios de A (por ejemplo, cualquier matriz sobre un campo algebraicamente cerrado) es similar a una matriz triangular. Esto se puede demostrar utilizando la inducción sobre el hecho de que A tiene un vector propio, tomando el espacio cociente por el vector propio e induciendo para mostrar que A estabiliza una bandera, y por lo tanto es triangularizable con respecto a una base para esa bandera.
Una declaración más precisa está dada por el teorema de la forma normal de Jordan, que establece que en esta situación, A es similar a una matriz triangular superior de una forma muy particular. Sin embargo, el resultado más sencillo de la triangularización suele ser suficiente y, en cualquier caso, se utiliza para demostrar el teorema de la forma normal de Jordan.
En el caso de las matrices complejas, es posible decir más sobre la triangularización, a saber, que cualquier matriz cuadrada A tiene una descomposición de Schur. Esto significa que A es unitariamente equivalente (es decir, similar, usando una matriz unitaria como cambio de base) a una matriz triangular superior; esto se deduce tomando una base hermitiana para la bandera.
Triangularización simultáneaEditar
Un conjunto de matrices A 1 , … , A k {{displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}.
se dice que son simultáneamente triangularizables si existe una base bajo la cual todas son triangulares superiores; equivalentemente, si son triangularizables superiores por una única matriz de similitud P. Tal conjunto de matrices se entiende más fácilmente considerando el álgebra de matrices que genera, a saber, todos los polinomios en el A i , {\displaystyle A_{i},}
denotado K . {\displaystyle K.}
La triangularizabilidad simultánea significa que esta álgebra es conjugada en la subálgebra de Lie de las matrices triangulares superiores, y es equivalente a que esta álgebra sea una subálgebra de Lie de una subálgebra de Borel.
El resultado básico es que (sobre un campo algebraicamente cerrado), las matrices conmutativas A , B {\\Ndice A,B}
o, más generalmente, A 1 , … , A k {{displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
son simultáneamente triangulables. Esto se puede demostrar mostrando primero que las matrices conmutables tienen un vector propio común, y luego induciendo en la dimensión como antes. Esto fue demostrado por Frobenius, a partir de 1878 para un par conmutado, como se discute en matrices conmutadas. En cuanto a una matriz simple, sobre los números complejos estos pueden ser triangularizados por matrices unitarias.
El hecho de que las matrices conmutadas tengan un vector propio común puede interpretarse como un resultado de la Nullstellensatz de Hilbert: las matrices conmutativas forman un álgebra conmutativa K {\displaystyle K}
sobre K {\displaystyle K}
que puede interpretarse como una variedad en un espacio afín k-dimensional, y la existencia de un valor propio (común) (y, por tanto, de un vector propio común) corresponde a que esta variedad tiene un punto (no está vacía), que es el contenido de la Nullstellensatz (débil). En términos algebraicos, estos operadores corresponden a una representación del álgebra de polinomios en k variables.
Esto se generaliza mediante el teorema de Lie, que muestra que cualquier representación de un álgebra de Lie soluble es simultáneamente triangularizable superior, siendo el caso de las matrices conmutativas el caso del álgebra de Lie abeliana, siendo la abeliana a fortiori soluble.
De forma más general y precisa, un conjunto de matrices A 1 , … , A k {{displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
es simultáneamente triangularizable si y sólo si la matriz p ( A 1 , … , A k ) {displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})}
es nilpotente para todos los polinomios p en k variables no conmutativas, donde {\displaystyle }
es el conmutador; para A i conmutativo {\displaystyle A_{i}}
el conmutador desaparece por lo que esto se mantiene. Esto se demostró en (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951); una breve demostración se da en (Prasolov 1994, pp. 178-179). Una dirección es clara: si las matrices son simultáneamente triangulables, entonces
es estrictamente triangularizable superiormente (por lo tanto nilpotente), lo que se conserva al multiplicar por cualquier A k {{displaystyle A_{k}}
o una combinación de ellas – seguirá teniendo 0s en la diagonal en la base triangularizable.