Núñez nació en Colón, Cuba. La madre de Núñez, dentista, y el padre, abogado, estudiaron en la Universidad de La Habana mientras Fidel Castro era estudiante allí. Hacia 1960, la familia se trasladó primero a Caracas, Venezuela, y luego a Estados Unidos. Su familia se trasladó a Boston cuando él tenía dos años y luego a Union City, Nueva Jersey, cuando tenía cuatro. Se naturalizó como ciudadano estadounidense en 1964. Es bilingüe en inglés y español. Núñez asistió a varias universidades de Nueva York, entre ellas el Fashion Institute of Technology y la Parsons School of Design for writing, y se convirtió en técnico dental certificado tras estudiar en el Magna Institute of Dental Technology.
Núñez comenzó su carrera de comediante en Nueva York, realizando más de 300 espectáculos con la compañía de teatro The Shock of the Funny. La compañía estuvo activa en el East Village durante varios años. Además de su trabajo con Shock, Núñez actuó en teatros de Nueva York y Washington D.C. antes de trasladarse a Los Ángeles a mediados de la década de 1990. En Los Ángeles, se unió a The Groundlings y actuó en su compañía dominical. Durante su estancia en Groundlings, escribió y protagonizó una producción titulada «Smooth Down There» (Suave ahí abajo).
En 1997, Núñez se graduó en el Taller de Escritores de Comedia de Warner Brothers. En 1999, fue finalista del Proyecto de Escritores Latinos de la ABC.
En 1998, apareció en el programa de juegos Match Game, pero no resultó ganador.
Núñez fue el sustituto de Adam Carolla en The Man Show.
Los créditos televisivos de Núñez incluyen Malcolm in the Middle, 24, Curb Your Enthusiasm, Reno 911!, The District y Mad TV, además de su papel en The Office. ¡También fue el creador y productor ejecutivo de la serie de Comedy Central Halfway Home, en la que coprotagonizó el personaje de Eulogio Pla.
Sus créditos cinematográficos incluyen The Italian Job (como guardia de seguridad), Reno 911! Miami, y ¿Cuándo comemos? En 2009, Núñez interpretó el papel de Ramón, el proveedor de comida, stripper, gaseador y finalmente clérigo que realiza la ceremonia de la boda en La propuesta. En 2012, Núñez interpretó el papel de José Báez, un abogado en la película de Lifetime Prosecuting Casey Anthony.
Núñez apareció como uno de los ocho jueces en el concurso Miss USA 2010, planteando una pregunta sobre la ley de inmigrantes indocumentados de Arizona a Miss Oklahoma USA, Morgan Elizabeth Woolard. Núñez fue abucheado por el público antes de terminar la pregunta; sin embargo, pidió al público que esperara a que terminara la pregunta antes de reaccionar. Aunque Woolard respondió que apoya la ley como una cuestión de derechos estatales, añadió que está en contra de los perfiles raciales.
En 2014, Núñez coprotagonizó junto a Eliza Coupe y Jay Harrington la serie de comedia de corta duración de USA Network Benched.
En 2016, Núñez apareció como regular en la serie de comedia de TBS, People of Earth, en TBS.
En 2018, Núñez interpretó al agente de seguros de State Farm, Cole Pérez, en una serie de anuncios publicitarios.
En julio de 2018, Núñez asumió el papel de Desi Arnaz, protagonizando la producción de estreno mundial de I Love Lucy: A Funny Thing Happened on the Way to the Sitcom, una comedia escénica entre bastidores sobre I Love Lucy de Gregg Oppenheimer (hijo del creador de la serie Jess Oppenheimer). Grabada ante un público en directo en el Teatro James Bridges de la UCLA, la producción de L.A. Theatre Works se emitió en la radio pública y se ha publicado en CD de audio y como mp3 descargable.
Actualmente, Núñez está interpretando al Sr. Hernández en el original de Netflix Sr. Iglesias.