¿Qué son las matemáticas?Las matemáticas son una disciplina (campo de estudio) antigua, amplia y profunda. Las personas que trabajan para mejorar la educación matemática necesitan entender «¿Qué es la matemática?» |
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Un poco de historia
La matemática como área formal de enseñanza y aprendizaje fue desarrollada hace unos 5.000 años por los sumerios. Lo hicieron al mismo tiempo que desarrollaron la lectura y la escritura. Sin embargo, las raíces de las matemáticas se remontan a mucho más de 5.000 años.
A lo largo de su historia, los humanos se han enfrentado a la necesidad de medir y comunicar el tiempo, la cantidad y la distancia. El hueso de Ishango (véase ahttp://www.math.buffalo.edu/mad/
Ancient-Africa/ishango.html y http://www.naturalsciences.be/expo/ishango/
es/ishango/riddle.html) es un mango de herramienta de hueso con una antigüedad aproximada de 20.000 años.
Figura 1
La imagen que aparece a continuación muestra fichas de arcilla sumerias cuyo uso comenzó hace unos 11.000 años (véase http://www.sumerian.org/tokens.htm). Dichas fichas de arcilla fueron un predecesor de la lectura, la escritura y las matemáticas.
Figura 2
El desarrollo de la lectura, la escritura y las matemáticas formales hace 5.000 años permitió la codificación del conocimiento matemático, la instrucción formal en matemáticas y comenzó una acumulación constante de conocimientos matemáticos.
Las matemáticas como disciplina
Una disciplina (un campo de estudio organizado y formal) como las matemáticas tiende a definirse por los tipos de problemas que aborda, los métodos que utiliza para abordar estos problemas y los resultados que ha conseguido. Una forma de organizar este conjunto de información es dividirlo en las tres categorías siguientes (por supuesto, se solapan entre sí):
- Las matemáticas como esfuerzo humano. Por ejemplo, considere la matemática de la medición del tiempo, como los años, las estaciones, los meses, las semanas, los días, etc. O, considere la medición de la distancia, y los diferentes sistemas de medición de la distancia que se desarrollaron en todo el mundo. O pensemos en las matemáticas en el arte, la danza y la música. Existe una rica historia del desarrollo humano de las matemáticas y de los usos matemáticos en nuestra sociedad moderna.
- Las matemáticas como disciplina. Usted está familiarizado con muchas disciplinas académicas como la arqueología, la biología, la química, la economía, la historia, la psicología, la sociología, etc. Las matemáticas son una disciplina amplia y profunda que sigue creciendo en amplitud y profundidad. Hoy en día, una tesis doctoral en matemáticas suele centrarse en definiciones, teoremas y pruebas relacionadas con un único problema en un subcampo estrecho de las matemáticas.
- Las matemáticas como lenguaje y herramienta interdisciplinar. Al igual que la lectura y la escritura, las matemáticas son un componente importante del aprendizaje y del «hacer» (utilizar los propios conocimientos) en cada disciplina académica. Las matemáticas son un lenguaje y una herramienta tan útiles que se consideran uno de los «fundamentos» de nuestro sistema educativo formal.
En gran medida, los estudiantes y muchos de sus profesores tienden a definir las matemáticas en términos de lo que aprenden en los cursos de matemáticas, y estos cursos tienden a centrarse en el #3. La instrucción y la evaluación tienden a centrarse en las habilidades básicas y en la resolución de problemas relativamente simples utilizando estas habilidades básicas. Como se indica en la discusión de los tres componentes, esto es sólo una parte de las matemáticas.
Incluso dentro del tercer componente, no está claro lo que debe enfatizarse en el currículo, la instrucción y la evaluación. La cuestión de las habilidades básicas frente a las habilidades de orden superior es particularmente importante en la educación matemática. ¿Cuánto tiempo de la educación matemática debe dedicarse a ayudar a los estudiantes a obtener un alto nivel de precisión y automaticidad en las habilidades básicas de cálculo y procedimiento? ¿Cuánto tiempo debe dedicarse a las habilidades de orden superior, como el planteamiento de problemas, la representación de problemas, la resolución de problemas complejos y la transferencia de conocimientos y habilidades matemáticas a problemas de disciplinas no matemáticas?
La belleza de las matemáticas
Pocos son los profesores de K-12 que estudian suficientes matemáticas como para entender y apreciar la amplitud, la profundidad, la complejidad y la belleza de la disciplina. Los matemáticos suelen hablar de la belleza de una prueba o un resultado matemático concreto. ¿Recuerda que alguno de sus profesores de matemáticas del K-12 haya hablado alguna vez de la belleza de las matemáticas?
G. H. Hardy fue uno de los principales matemáticos del mundo en la primera mitad del siglo XX. En su libro «A Mathematician’s Apology» (Apología del Matemático) se explaya ampliamente sobre las diferencias entre las matemáticas puras y las aplicadas. Habla de dos ejemplos de (bellos) problemas de matemáticas puras. Se trata de problemas que algunos estudiantes de secundaria y bachillerato podrían resolver perfectamente, pero que son bastante diferentes de los tipos de matemáticas que se abordan en nuestro actual plan de estudios de K-12. Ambos problemas se resolvieron hace más de 2.000 años y son representativos de lo que hacen los matemáticos.
- Un número racional es aquel que puede expresarse como una fracción de dos enteros. Demuestra que la raíz cuadrada de 2 no es un número racional. Obsérvese que la raíz cuadrada de 2 surge de forma natural al utilizar técnicas de topografía y carpintería.
- Un número primo es un número entero positivo mayor que 1 cuyos únicos divisores enteros positivos son él mismo y 1. Demostrar que hay un número infinito de números primos. En los últimos años, los números primos muy grandes han surgido como muy útiles en la encriptación de mensajes electrónicos.
Resolución de problemas
El siguiente diagrama se puede utilizar para discutir la representación y resolución de problemas matemáticos aplicados en el nivel K-12. Este diagrama es especialmente útil en las discusiones sobre el actual plan de estudios de matemáticas K-12.
Figura 3
Los seis pasos ilustrados son: 1) Planteamiento del problema; 2) Modelización matemática; 3) Uso de un procedimiento computacional o algorítmico para resolver un problema matemático computacional o algorítmico; 4) «Desmodelización» matemática; 5) Pensar en los resultados para ver si se ha resuelto el problema claramente definido, y 6) Pensar si se ha resuelto la situación problemática original. Los pasos 5 y 6 también implican pensar en problemas relacionados y situaciones problemáticas que uno podría querer abordar o que son creadas por el proceso o por intentar resolver el Problema Claramente Definido original o resolver la Situación Problemática original. Haga clic aquí para obtener más información sobre la resolución de problemas.
Observaciones finales
Aquí hay cuatro puntos muy importantes que surgen de la consideración del diagrama de la Figura 3 y del material anterior presentado en esta sección:
- Las matemáticas son una ayuda para representar e intentar resolver situaciones problemáticas en todas las disciplinas. Es una herramienta y un lenguaje interdisciplinar.
- Los ordenadores y las calculadoras son excesivamente rápidos, precisos y capaces de realizar el Paso 3.
- Nuestro actual plan de estudios de matemáticas de K-12 dedica la mayor parte de su tiempo a enseñar a los estudiantes a realizar el Paso 3 utilizando las herramientas mentales y físicas (como el lápiz y el papel) que se han utilizado durante cientos de años. Podemos pensar que esto es como enseñar a los estudiantes a competir con las máquinas, en lugar de trabajar con las máquinas.
- Nuestro actual sistema de educación matemática en los niveles PreK-12 está desequilibrado entre el conocimiento y las habilidades de orden inferior (con demasiado énfasis en el Paso #3 en el diagrama) y el conocimiento y las habilidades de orden superior (todos los otros pasos en el diagrama). Hay tres poderosos agentes de cambio que eventualmente facilitarán y forzarán cambios importantes en nuestro sistema de educación matemática.
- La Ciencia del Cerebro, que está siendo ayudada en gran medida por los equipos de escaneo del cerebro y el mapeo y modelado computarizado de las actividades cerebrales, está añadiendo significativamente a nuestra comprensión de cómo el cerebro aprende matemáticas y utiliza sus conocimientos y habilidades matemáticas.
- La informática y la tecnología de la información están proporcionando potentes ayudas a muchas áreas de investigación diferentes (como la ciencia del cerebro), a la enseñanza de las matemáticas (por ejemplo, mediante el uso de aprendizaje inteligente altamente interactivo asistido por ordenador, tal vez entregado a través de Internet), al contenido de las matemáticas (por ejemplo, las matemáticas computacionales), y a la representación y automatización de la parte de «procedimientos» de hacer matemáticas.
- El crecimiento constante de la totalidad del conocimiento matemático y sus aplicaciones para representar y ayudar a resolver problemas en todas las disciplinas académicas.
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