De fleste lertavler, der beskriver babylonisk matematik, hører til oldbabylonisk, hvorfor matematikken fra Mesopotamien almindeligvis kaldes babylonisk matematik. Nogle lertavler indeholder matematiske lister og tabeller, andre indeholder problemer og gennemarbejdede løsninger.
AritmetikRediger
Babylonierne brugte forudberegnede tabeller til at hjælpe med aritmetik. To tavler, der blev fundet i Senkerah ved Eufrat i 1854 og dateres til 2000 f.Kr., indeholder f.eks. lister over kvadrater for tal op til 59 og terninger for tal op til 32. Babylonierne brugte listerne over kvadrater sammen med formlerne:
a b = ( a + b ) 2 – a 2 – b 2 2 2 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}-b^{2}}}{2}}}}
a b = ( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 4 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}}{4}}}}
for at forenkle multiplikation.
Babylonierne havde ikke en algoritme til lang division. I stedet baserede de deres metode på det faktum, at:
a b = a × 1 b {\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}}}=a\ gange {\frac {1}{b}}}}
samt en tabel over reciprokalerne. Tal, hvis eneste primfaktorer er 2, 3 eller 5 (kendt som 5-glatte eller regelmæssige tal) har finitte reciprokaler i sexagesimal notation, og der er fundet tabeller med omfattende lister over disse reciprokaler.
Reciprokaler som 1/7, 1/11, 1/13 osv. har ikke finitte repræsentationer i sexagesimal notation. For at beregne 1/13 eller for at dividere et tal med 13 ville babylonierne bruge en tilnærmelse som:
1 13 = 7 91 = 7 × 1 91 ≈ 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600 . {\displaystyle {\frac {\frac {1}{13}}}={\frac {7}{91}}}=7\times {\frac {1}{91}}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}}=7\times {\frac {40}{3600}}={{\frac {280}{3600}}}={\frac {4}{60}}}+{\frac {40}{3600}}.}
AlgebraEdit
Den babyloniske lertavle YBC 7289 (ca. 1800-1600 f.Kr.) giver en tilnærmelse af √2 i fire sexagesimale tal, 1;24,51,10, som er nøjagtig til omkring seks decimaler, og som er den tættest mulige sexagesimale repræsentation af √2 på tre steder:
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 = 1,41421 296 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}}+{\frac {51}{60^{2}}}}+{\frac {10}{60^{3}}}}={\frac {30547}{21600}}}=1.41421{\overline {296}}}.}
Som aritmetiske beregninger udviklede de babyloniske matematikere også algebraiske metoder til løsning af ligninger. Igen var disse baseret på forudberegnede tabeller.
For at løse en kvadratisk ligning brugte babylonierne i det væsentlige den kvadratiske standardformel. De betragtede kvadratiske ligninger af formen:
x 2 + b x = c {\displaystyle \ x^{2}+bx=c}
hvor b og c ikke nødvendigvis var hele tal, men c var altid positiv. De vidste, at en løsning til denne form for ligning er:
x = – b 2 + ( b 2 ) 2 + c {\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}}}\right)^{2}+c}}}}
og de fandt kvadratrødder effektivt ved hjælp af division og middelværdiberegning. De brugte altid den positive rod, fordi det gav mening, når de løste “rigtige” problemer. Problemer af denne type omfattede bl.a. at finde dimensionerne af et rektangel givet dets areal og det beløb, hvormed længden overstiger bredden.
Tabeller med værdier af n3 + n2 blev brugt til at løse visse kubiske ligninger. For eksempel kan man overveje ligningen:
a x 3 + b x 2 = c . {\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}
Multiplicerer man ligningen med a2 og dividerer med b3, får man:
( a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 . {\displaystyle \left({\frac {\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}}{b^{3}}}}.}
Substitution af y = ax/b giver:
y 3 + y 2 = c a 2 b 3 {\displaystyle y^{3}+y^{2}}={\frac {ca^{2}}}{b^{3}}}}
som nu kunne løses ved at slå op i tabellen n3 + n2 for at finde den værdi, der ligger tættest på højre side. Babylonierne klarede dette uden algebraisk notation, hvilket viser en bemærkelsesværdig dyb forståelse. De havde dog ikke en metode til at løse den generelle kubiske ligning.
VækstRediger
Babylonierne modellerede eksponentiel vækst, begrænset vækst (via en form for sigmoidfunktioner) og fordoblingstid, sidstnævnte i forbindelse med renter på lån.
Tavler af ler fra ca. 2000 f.Kr. indeholder opgaven “Givet en rentesats på 1/60 pr. måned (ingen sammensætning), beregn fordoblingstiden”. Dette giver en årlig rente på 12/60 = 20%, og dermed en fordoblingstid på 100% vækst/20% vækst pr. år = 5 år.
Plimpton 322Edit
Plimpton 322-tavlen indeholder en liste over “pythagoræiske tripler”, dvs. hele tal ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)}
sådan, at a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}}
.Triplerne er for mange og for store til, at de kan være opnået ved brute force.
Der er skrevet meget om emnet, herunder nogle spekulationer (måske anakronistiske) om, hvorvidt tavlen kunne have tjent som en tidlig trigonometrisk tabel. Man skal være forsigtig med at se tavlen i forhold til metoder, der var velkendte eller tilgængelige for de skriftkloge på den tid.
Spørgsmålet “hvordan blev tavlen beregnet?” behøver ikke at have samme svar som spørgsmålet “hvilke problemer stiller tavlen?”. Det første kan besvares mest tilfredsstillende ved hjælp af reciprokke par, som det først blev foreslået for et halvt århundrede siden, og det andet ved hjælp af en slags retvinklede problemer.
(E. Robson, “Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322”, Historia Math. 28 (3), p. 202).
GeometriRediger
Babylonierne kendte de almindelige regler for måling af rumfang og arealer. De målte omkredsen af en cirkel som tre gange diameteren og arealet som en tolvtedel af kvadratet på omkredsen, hvilket ville være korrekt, hvis π anslås til 3. De var klar over, at dette var en tilnærmelse, og en gammalbabylonisk matematisk tavle, der blev udgravet nær Susa i 1936 (dateret til mellem det 19. og 17. århundrede fvt.), giver en bedre tilnærmelse af π som 25/8 = 3.125, ca. 0,5 procent under den nøjagtige værdi. volumenet af en cylinder blev taget som produktet af basen og højden, men volumenet af keglestumpen af en kegle eller en firkantet pyramide blev fejlagtigt taget som produktet af højden og halvdelen af summen af baserne. Den pythagoræiske sætning var også kendt af babylonierne.
Den “babyloniske mil” var et mål for afstand svarende til ca. 11,3 km (eller ca. syv moderne mil).Dette mål for afstande blev til sidst omdannet til en “tidsmile”, der blev brugt til at måle solens rejse, og som derfor repræsenterer tiden.
De gamle babyloniere havde kendt til sætninger om forholdet mellem siderne af ensartede trekanter i mange århundreder, men de manglede begrebet vinkelmål og studerede derfor i stedet siderne af trekanterne.
De babyloniske astronomer førte detaljerede optegnelser over stjernernes op- og nedgang, planeternes bevægelse og sol- og måneformørkelser, hvilket alt sammen krævede kendskab til vinkelafstande målt på himmelsfæren.
De brugte også en form for Fourier-analyse til at beregne efemerider (tabeller over astronomiske positioner), som blev opdaget i 1950’erne af Otto Neugebauer. Til at foretage beregninger af himmellegemernes bevægelser brugte babylonierne grundlæggende aritmetik og et koordinatsystem baseret på ekliptika, den del af himlen, som solen og planeterne bevæger sig igennem.
Tabeller, der opbevares på British Museum, vidner om, at babylonierne endda gik så langt som til at have et begreb om objekter i et abstrakt matematisk rum. Tavlerne stammer fra perioden mellem 350 og 50 f.Kr. og afslører, at babylonierne forstod og brugte geometri endnu tidligere end hidtil antaget. Babylonierne brugte en metode til at estimere arealet under en kurve ved at tegne et trapez nedenunder, en teknik, som man tidligere har ment at stamme fra det 14. århundredes Europa. Denne estimationsmetode gjorde det muligt for dem f.eks. at finde den afstand, som Jupiter havde tilbagelagt på et bestemt tidsrum.