Alai

Hvad er matematik? En bid af historien Matematik som disciplin Matematikkens skønhed Problemløsning Slutbemærkninger Hvad er matematik? Matematik er en gammel, bred og dyb disciplin (et fagområde). Folk, der arbejder på at forbedre matematikundervisningen, er nødt til at forstå “Hvad er matematik?”

En bid af historien

Matematik som et formelt område for undervisning og læring blev udviklet for omkring 5.000 år siden af sumererne. De gjorde det samtidig med, at de udviklede læsning og skrivning. Matematikkens rødder går dog langt mere end 5.000 år tilbage.

Igennem hele deres historie har mennesker stået over for behovet for at måle og kommunikere om tid, mængde og afstand. Ishango-knoglen (se ahttp://www.math.buffalo.edu/mad/
Ancient-Africa/ishango.html og http://www.naturalsciences.be/expo/ishango/
da/ishango/riddle.html) er et knogleværktøjshåndtag, der er ca. 20.000 år gammelt.

Det nedenstående billede viser sumeriske lermønter, hvis brug begyndte for ca. 11.000 år siden (se http://www.sumerian.org/tokens.htm). Sådanne lertegn var en forløber for læsning, skrivning og matematik.

Udviklingen af læsning, skrivning og formel matematik for 5.000 år siden muliggjorde kodificering af matematisk viden, formel undervisning i matematik og begyndte en støt akkumulering af matematisk viden.

Matematik som disciplin

En disciplin (et organiseret, formelt fagområde) som f.eks. matematik har en tendens til at blive defineret ved de typer af problemer, den beskæftiger sig med, de metoder, den anvender til at løse disse problemer, og de resultater, den har opnået. En måde at organisere dette sæt af oplysninger på er at opdele det i følgende tre kategorier (de overlapper naturligvis hinanden):

1. Matematik som en menneskelig bestræbelse. For eksempel kan man overveje matematikken i forbindelse med måling af tid som f.eks. år, årstider, måneder, uger, dage og så videre. Eller tænk på måling af afstand og de forskellige systemer til måling af afstand, der er udviklet i hele verden. Eller tænk på matematikken i kunst, dans og musik. Der er en rig historie om menneskets udvikling af matematik og matematikkens anvendelse i vores moderne samfund.
2. Matematik som disciplin. Du er bekendt med masser af akademiske discipliner som f.eks. arkæologi, biologi, kemi, økonomi, historie, psykologi, sociologi og så videre. Matematik er en bred og dyb disciplin, som fortsat vokser i bredde og dybde. I dag er en ph.d.-forskningsafhandling i matematik typisk snævert fokuseret på definitioner, teoremer og beviser i forbindelse med et enkelt problem inden for et snævert delområde af matematikken.
3. Matematik som et tværfagligt sprog og værktøj. Ligesom læsning og skrivning er matematik en vigtig del af læring og “gøren” (at bruge sin viden) inden for hver akademisk disciplin. Matematik er et så nyttigt sprog og værktøj, at det betragtes som et af de “grundlæggende elementer” i vores formelle uddannelsessystem.

I vid udstrækning har eleverne og mange af deres lærere en tendens til at definere matematik ud fra det, de lærer i matematikkurser, og disse kurser har en tendens til at fokusere på nr. 3. Der er en tendens til, at undervisningen og vurderingen fokuserer på grundlæggende færdigheder og på at løse relativt enkle problemer ved hjælp af disse grundlæggende færdigheder. Som det fremgår af ovenstående diskussion af tre komponenter, er dette kun en del af matematikken.

Selv inden for den tredje komponent er det ikke klart, hvad der bør lægges vægt på i læseplan, undervisning og vurdering. Spørgsmålet om grundlæggende færdigheder versus færdigheder af højere orden er særlig vigtigt i matematikundervisningen. Hvor meget af tiden i matematikundervisningen skal bruges på at hjælpe eleverne med at opnå en høj grad af nøjagtighed og automatik i grundlæggende regne- og procedurefærdigheder? Hvor meget tid skal bruges på højere færdigheder såsom problemformulering, problemrepræsentation, løsning af komplekse problemer og overførsel af matematisk viden og færdigheder til problemer i andre discipliner end matematik?

Matematikkens skønhed

Relativt få K-12-lærere studerer nok matematik til, at de forstår og værdsætter disciplinens bredde, dybde, kompleksitet og skønhed. Matematikere taler ofte om skønheden i et bestemt bevis eller matematisk resultat. Kan du huske, at nogen af dine matematiklærere i gymnasiet nogensinde har talt om matematikkens skønhed?

G. H. Hardy var en af verdens førende matematikere i første halvdel af det 20. århundrede. I sin bog “A Mathematician’s Apology” uddyber han udførligt forskellene mellem ren og anvendt matematik. Han diskuterer to eksempler på (smukke) rene matematiske problemer. Det er problemer, som nogle elever på mellemtrinnet og gymnasiet godt kunne løse, men de er helt anderledes end de typer matematik, der behandles i vores nuværende K-12 læseplan. Begge disse problemer blev løst for mere end 2.000 år siden og er repræsentative for, hvad matematikere laver.

1. Et rationelt tal er et tal, der kan udtrykkes som en brøkdel af to hele tal. Bevis, at kvadratroden af 2 ikke er et rationelt tal. Bemærk, at kvadratroden af 2 opstår på en naturlig måde, når man bruger landmålingsteknik og tømrerteknik.
3. Et primtal er et positivt heltal større end 1, hvis eneste positive hele divisorer er sig selv og 1. Bevis, at der findes et uendeligt antal primtal. I de seneste år har meget store primtal vist sig at være meget nyttige i forbindelse med kryptering af elektroniske meddelelser.

Problemløsning

Det følgende diagram kan bruges til at diskutere repræsentation og løsning af anvendte matematiske problemer på K-12-niveau. Dette diagram er især nyttigt i forbindelse med diskussioner af den nuværende K-12-læreplan for matematik.

De seks trin, der er illustreret, er 1) Problemformulering; 2) Matematisk modellering; 3) Brug af en beregningsmæssig eller algoritmisk procedure til at løse et beregningsmæssigt eller algoritmisk matematisk problem; 4) Matematisk “afmodellering”; 5) Tænkning over resultaterne for at se, om det klart definerede problem er blevet løst, og 6) Tænkning over, om den oprindelige problemsituation er blevet løst. Trin 5 og 6 omfatter også overvejelser om beslægtede problemer og problemsituationer, som man måske ønsker at løse, eller som er opstået i forbindelse med processen eller forsøget på at løse det oprindelige klart definerede problem eller løse den oprindelige problemsituation. Klik her for at få flere oplysninger om problemløsning.

Slutbemærkninger

Her er fire meget vigtige punkter, der fremgår af overvejelser om diagrammet i figur 3 og tidligere materiale præsenteret i dette afsnit:

1. Matematik er et hjælpemiddel til at repræsentere og forsøge at løse problemsituationer i alle discipliner. Det er et tværfagligt værktøj og sprog.
2. Computere og lommeregnere er overordentlig hurtige, præcise og i stand til at udføre trin 3.
3. Vores nuværende K-12 matematiske læseplaner bruger størstedelen af tiden på at lære eleverne at udføre trin 3 ved hjælp af de mentale og fysiske værktøjer (såsom blyant og papir), som har været brugt i hundreder af år. Vi kan betragte dette som at lære eleverne at konkurrere med maskiner i stedet for at arbejde med maskiner.
4. Vores nuværende matematikundervisningssystem på førskole- og 12. klassetrin er ubalanceret mellem viden og færdigheder af lavere orden (med alt for stor vægt på trin 3 i diagrammet) og viden og færdigheder af højere orden (alle de andre trin i diagrammet). Det er svagt i matematik som en menneskelig bestræbelse og som en studiedisciplin.

Der er tre stærke forandringsagenter, som i sidste ende vil lette og fremtvinge større ændringer i vores matematikundervisningssystem.

• Hjernevidenskab, som i høj grad hjælpes på vej af hjernescanningsudstyr og computerkortlægning og modellering af hjerneaktiviteter, bidrager væsentligt til vores forståelse af, hvordan hjernen lærer matematik og bruger sin matematiske viden og færdigheder.
• Computer- og informationsteknologi er ved at give stærke hjælpemidler til mange forskellige forskningsområder (f.eks. hjerneforskning), til matematikundervisning (f.eks. ved hjælp af meget interaktiv intelligent computerassisteret læring, måske leveret via internettet), til matematikkens indhold (f.eks. computermatematik) og til at repræsentere og automatisere den del af matematikken, der vedrører “procedurer”.
• Den stadige vækst i den samlede matematiske viden og dens anvendelser til at repræsentere og hjælpe med at løse problemer inden for alle akademiske discipliner.

Top af siden