Forfatterne af forall x giver denne definition af gyldighed (side 8):
An argument is valid if and only if it is impossible for all of the premises to be true and the conclusion false.
De omtaler også dette som “validitet i kraft af formen” (side 21):
Gyldigheden af de netop betragtede argumenter har ikke ret meget at gøre med betydningen af engelske udtryk som “Jenny is miserable”, “Dipan is an avid reader of Tolstoy”, eller “Jim acted in lots of plays”. Hvis det overhovedet har noget med betydninger at gøre, så er det med betydningen af vendinger som “and”, “or”, “not” og “if…, then…”.
Denne gyldighed kan automatisk valideres ved hjælp af beviskontrolprogrammer. Hvis vi antager, at beviskontrollen ikke er dårligt konstrueret, hvis det argument, vi indtaster i beviskontrollen, består, så er det gyldigt i kraft af formen.
Tænk på sætningen: “Det regner”. Negationen af denne sætning kunne skrives som “Det er ikke tilfældet, at det regner”. Lad os symbolisere “Det regner” med “P”. Så ville dens negation være “¬P”. En selvmodsigende sætning, der er bygget op af disse to, ville være “P ∧ ¬P”, dvs. både “P” og “¬P”.
Med dette som præmis kan vi konstruere et gyldigt argument i kraft af formen? Ja, det kan vi. Her er et eksempel, hvor jeg forsøger at vise, at “P ∧ ¬P” indebærer “P”.
Den første linje er præmissen. Jeg får den anden linje ved at bruge reglen om udelukkelse af konjunktion (∧E), som gør det muligt for mig at bruge begge sider af konjunktionen (∧) i mit argument. Det viser sig, at det, jeg brugte, “P”, var det, jeg ønskede at vise, og beviskontrollen verificerede derfor, at jeg nåede mit mål.
Det kan se mærkeligt ud, at jeg, givet en selvmodsigende præmis, var i stand til at konstruere et gyldigt argument, der viser, at en af konjunktionerne i den selvmodsigende præmis fulgte. Det kan blive endnu mere mærkeligt.
Med lidt mere arbejde kan jeg vise, at hvad som helst følger af en selvmodsigende præmis. Lad “Q” være symboliseringen for hvad som helst. Dette eksempel viser, at jeg kan konstruere et gyldigt i kraft af formen argument for “Q”:
Den første linje indeholdt den selvmodsigende præmis som i det foregående eksempel.
På linje 2 og 3 brugte jeg konjunktionseliminering (∧E) på begge sider af præmissen (linje 1) for at placere disse på separate linjer.
Når jeg har dem på separate linjer, kan jeg bruge reglen om indledning af modsigelse (⊥I) til på linje 4 at notere, at jeg har en modsigelse (⊥).
På linje 5 kan jeg, fordi jeg har en modsigelse, skrive hvad jeg vil. Det kaldes reglen om eksplosion (X). Da mit mål er “Q”, og jeg i henhold til reglerne kan skrive alt, hvad jeg vil, skriver jeg “Q”. Beviskontrollen verificerer, at jeg har nået mit mål.
For yderligere oplysninger om disse regler henvises til kapitel 15 “Grundlæggende regler for TFL” i forall x.