Alai

INDLEDNING

Logik er studiet af de mønstre, der kendetegner sammenhængende eller konsistent tale. Dens vigtigste anvendelser er søgen efter uoverensstemmelser i historier eller beretninger og identifikation af gyldige og ugyldige former for ræsonnementer eller argumentationer.

Logikken hviler på det faktum, at der findes udsagn, som nødvendigvis er sande og derfor ikke kan falsificeres, uanset hvad der er eller ikke er tilfældet. Sådanne udsagn kaldes tautologier. Her er nogle enkle eksempler på tautologiske udsagn:

• Det regner eller det regner ikke.
• Drenge er drenge.
• Ingen cirkel er et rektangel.

Da tautologier er sande, uanset hvad der er eller ikke er tilfældet, er det simpelthen umuligt at finde, konstruere eller endog forestille sig et modeksempel (en situation, hvor tautologien ikke ville være sand). Af samme grund er negationen af en tautologi nødvendigvis falsk og kan derfor ikke verificeres, uanset hvad der er eller ikke er tilfældet. Negationer af tautologier kaldes modsigelser. Det er umuligt at finde, konstruere eller endog forestille sig et eksempel (en situation, i hvilken modsigelsen ville være et sandt udsagn). Her er de modstridende udsagn, der er negationer af de ovenfor anførte tautologier:

• Det regner og det regner ikke.
• En vis dreng er ikke en dreng.
• En vis cirkel er et rektangel.

Insammenhængende tale involverer taleren i en modsigelse, som kan være mere eller mindre åbenlys for hans tilhørere eller så godt skjult i hans argumenter, at kun en flittig logisk analyse kan bringe den frem i lyset.

PRINCIPPER

I den følgende tabel opregner vi nogle grundlæggende principper for logikken. Hver af dem er en tautologi.

For at minimere eller fjerne den risiko, som det naturlige sprogs tvetydigheder udgør, bruger logikere ofte et enklere, men utvetydigt “formelt” sprog. F.eks. ville en simpel delvis formalisering af de ovenfor nævnte principper være:

Til mange formål vil logikere udvikle formaliseringer, der er mere sofistikerede end denne. Til andre formål er det ikke nødvendigt med nogen formalisering.

For at tale eller skrive logisk bør man hverken eksplicit eller implicit modsige nogen af de principper, der er anført i tabellen.

For eksempel:

Det er ulogisk at sige om sig selv

• at man ikke er nogen ting (hvilket krænker ‘Eksistens’)

• at man ikke er dig (hvilket krænker ‘Identitet’)

• at man er mig (hvilket krænker ‘Unikhed’).

Det er ulogisk at sige om din kat

• at den ikke har nogen egenskaber (hvilket krænker ‘Specificitet’)

• at den er død og ikke død (hvilket krænker ‘Ikke-Modsigelse’)

• at den hverken er ved godt helbred eller ikke ved godt helbred (hvilket krænker ‘Udelukket midte’).

SUBJEKT, PRÆDIKAT OG KONTEKST

Ordet ‘ting’, som forekommer i hvert af logikkens principper, henviser til alt, som man kan ønske at sige noget om. Således er en genstand (Eiffeltårnet, din computer) en ting. Det samme er et dyr (din kat), en person (mig, dig, din far) eller en fiktiv figur (Mickey Mouse). En historisk eller fiktiv begivenhed (Anden Golfkrig, Big Bang, din fødsel, din nabos ægteskab, Sherlock Holmes’ død) er en ting. Andre ting er et bogstav i alfabetet, et ord, en sætning, et argument og så videre. Kort sagt er en ting alt det, der er eller kan være genstand for noget, man siger.

Det, man siger om en ting, kaldes dens prædikat – det er det, man prædikerer om den. Man kan f.eks. prædikere om et subjekt, at det har eller ikke har en bestemt egenskab; eller at det står eller ikke står i et bestemt forhold til en eller flere ting.

Bemærk, at man altid bør skelne klart mellem en ting og de navne eller beskrivelser, hvormed man omtaler den. Navnet ‘Oliver’ er sammensat af seks bogstaver, men den person (hvis nogen), som navnet gælder for, er ikke sammensat af bogstaver. Navnet “Dracula”, som er en vampyrs egennavn, henviser ikke til en virkelig ting – Dracula eksisterer ikke – men navnet selv eksisterer naturligvis. I forbindelse med en beskrivelse af den virkelige verden gælder “eksistensens aksiom” derfor kun for navnet “Dracula”, men ikke for den ikke-eksisterende Dracula. Man bør således ikke læse eksistensaksiomet, som om det sagde, at “for hvert navn er der en ting, som navnet henviser til”.

Sommetider finder vi, at en ting er kendt under mere end ét navn eller beskrivelse. For eksempel henviser navnene ‘morgenstjernen’ og ‘aftenstjernen’ til den samme planet. Denne kendsgerning giver os imidlertid ikke et modeksempel eller en undtagelse fra princippet om entydighed. Med andre ord er det ikke sådan, at vi her har et par ting – morgenstjernen og aftenstjernen – således at den ene ting er den anden ting: der findes kun den ene planet. Det er heller ikke sådan, at vi her har et par af ting – navnet “morgenstjerne” og navnet “aftenstjerne” – således at det ene navn er identisk med det andet.

Vi bør bemærke, at logikkens principper henviser til en given sammenhæng. I Dracula-historien henviser navnet ‘Dracula’ til noget, der formodes at eksistere virkeligt. Historien ville ikke give mening, hvis man ikke gjorde denne antagelse. Mickey Mouse eksisterer ikke i den virkelige fysiske verden, men han formodes bestemt at eksistere i Mickey Mouse-historierne. Selv om man ved, at historien er opdigtet, er man naturligvis nødt til klart at adskille det, den fortæller en, fra det, man ved er sandt i den virkelige verden, for at kunne nyde den. Hvis man blander det virkelige liv og et bestemt stykke fiktion eller fantasi sammen, vil det ikke hjælpe en til at forstå hverken det ene eller det andet.

Det er et vigtigt træk i logikken at holde styr på konteksterne. At finde ud af hvilke udsagn der kan, og hvilke udsagn der ikke kan, henvise til den samme kontekst, er logikkens primære formål. Din kat kan have været levende og rask i går, men syg i morges – og nu er den måske død. Dette udsagn er ikke selvmodsigende. Det kan imidlertid ikke være sandt, at din kat er i live og har det godt, syg og død – alt sammen på samme tid.

Et udsagn, en fantasi eller en historie er måske ikke sandt, men det betyder ikke, at det er ulogisk. Vi kan sagtens kontrollere, om en historie er ulogisk eller ej, uanset om det er meningen, at den skal være sand. En roman, der i kapitel et beretter, at butleren opdagede sin arbejdsgivers lig, og i kapitel otte fortæller, at butleren allerede var død, da hans arbejdsgiver døde, er ulogisk. Den fortæller en historie, som umuligt kan være sand. På den anden side kan en logisk konsistent eller sammenhængende historie tænkes at være sand, selv om den ikke er det.

Det er klart, at det at kontrollere, om en historie er konsistent, ikke er det samme som at kontrollere, om den er sand. At kontrollere, om en historie stemmer overens med en anden, er ikke det samme som at kontrollere, om den stemmer overens med det, vi ved om den virkelige verden.

Hvis to personer er uenige på et eller andet punkt, må mindst én af dem sige noget, der ikke er sandt. Det er også muligt, at begge siger noget, der er forkert. Men hvis de ikke foregiver at diskutere den virkelige verden eller den samme fiktive historie, men blot producerer historier til glæde for deres læsere, så ville de formodentlig ikke bekymre sig om deres litterære produkters overensstemmelse med virkelighedens kendsgerninger eller kendsgerningerne i nogen anden historie end deres egen.

Mens der er udsagn, der er sande i én sammenhæng og falske i en anden, er tautologier sande i alle sammenhænge og modsigelser falske i alle sammenhænge. Det er blot en anden måde at sige, at tautologier nødvendigvis er sande og derfor ikke kan falsificeres, uanset hvad der er eller ikke er tilfældet; og at modsigelser nødvendigvis er falske og derfor ikke kan verificeres, uanset hvad der er eller ikke er tilfældet.

LOGIK OG RHETORIK

At sige noget ulogisk er at sige noget, som, hvis det tages bogstaveligt, ikke kan være sandt. Det er at sige noget, som vi ikke engang kan forestille os er sandt – og ikke på grund af manglende forestillingsevne.

Hvis nogen siger: “Min kat er død og ikke død”, så kan det, han siger, ikke være sandt, i hvert fald ikke hvis vi tager ham bogstaveligt. For at hans påstand skal give mening, må vi antage, at han bruger ordet ‘død’ i to forskellige betydninger, for eksempel: ‘Min kat er i live, men hun er så sløv, at hun lige så godt kunne være død’. Denne fortolkning fjerner modsigelsen, men det gør den kun ved at antage, at han siger noget andet end det, han bogstaveligt talt sagde.

Når nogen siger ‘Jeg er ikke mig selv i dag’, så er vi tilbøjelige til at antage, at han mener noget i retning af ‘Jeg ved ikke, hvad der er galt med mig i dag, men min nuværende opførsel er usædvanlig for mig’. Men hvis han insisterer på, at vi skal tage hans ord bogstaveligt, så kan vi ikke få mening ud af det, han siger. Det kan umuligt være sandt.

Når nogen bevidst siger noget, der umiddelbart er ulogisk, er der en god chance for, at han ikke ønsker, at hans publikum skal fortolke det bogstaveligt. Han taler sandsynligvis retorisk for at gøre eller understrege en pointe. Der er i sig selv ikke noget galt med sådanne retoriske finesser, men de bør bruges med omtanke, fordi de øger risikoen for misforståelser. Når alt kommer til alt, siger man noget, som ikke skal tages bogstaveligt, men man overlader det til publikum at finde ud af, hvad man egentlig ønsker at sige.
Dertil kommer, at retoriske udtryk kan være misvisende. Demagoger og tricktyve bruger dem ofte til at aflede deres publikums opmærksomhed fra relevante kendsgerninger eller til at få dem til at associere en ting med en anden, når der ikke er noget objektivt grundlag for denne association. Jo mindre logisk trænet publikum er i logik, jo lettere er det for demagoger og tricktyve at vildlede dem. Som Bertrand Russell sagde: “Logik er det bedste forsvar mod tricktyveri.”

Ofte er den ulogiske karakter af det, en person siger, ikke åbenlyst eller er tydeligvis ikke et tilsigtet resultat. Det kan være, at den først kommer til syne ved en nærmere analyse af det, han har sagt, eller ved at kombinere forskellige dele af hans budskab. Alternativt kan den kun fremstå ved at eksplicitere det, som han ikke sagde med så mange ord, men som han burde bekræfte, fordi det er underforstået i det, han sagde eksplicit. Nogle gange er en taler ikke helt klar over alle de logiske implikationer af det, han siger. Nogle gange er han måske ikke klar over, at der findes faktuel eller teoretisk viden, som gælder for det, han siger. Overvej følgende meddelelse:

1. Jeg har købt et stykke fladt land, som er en perfekt rektangulær trekant.

2. En side er 30 meter lang.

3. En side er 40 meter lang.

4. Den tredje side er 55 meter lang

Det ligner en simpel beskrivelse af et stykke jord uden antydning af retorisk udsmykning eller overdrivelse. Et elementært kendskab til geometri (især til den relevante pythagoræiske sætning) afslører imidlertid, at der ikke kan eksistere nogen rektangulær trekant med de dimensioner, som taleren nævner. Hvis det, som taleren siger, er sandt, så er Pythagoras’ sætning forkert! På den anden side, hvis teoremet er sandt, så er mindst en af hans målinger eller hans beskrivelse af landets form forkert. Hvis vi derfor med rimelighed antager, at sætningen er sand, kan vi konkludere, at taleren har begået en fejl eller har løjet om den jord, han hævder at have købt.

INFERENSER OG PROOFS

Sæt, at Jane er en elev, og at hendes lærer fortæller dig, at alle eleverne i Janes klasse har bestået eksamen. Selv om læreren ikke siger det med så mange ord, er du berettiget til at konkludere, at Jane bestod eksamen. Jane er jo trods alt elev i hendes klasse.

Præmis 1: Alle eleverne i Janes klasse bestod eksamen.

Præmis 2: Jane er elev i Janes klasse.
Slutning: Jane bestod eksamen.

Denne slutning er gyldig. Den beviser dog ikke, at Jane bestod eksamen. Udsagnet om, at Jane bestod eksamen, er trods alt blot udledt af det, som læreren sagde. Talte læreren sandt? Lad os antage, at det viser sig, at Jane ikke bestod eksamen. Så kan vi bevise, at det, som læreren sagde til Jane, ikke var sandt. Beviset går som følger:

Fakt 1: Læreren sagde, at alle eleverne i Janes klasse bestod eksamen.
Fakt 2: Jane er elev i Janes klasse.
Fakt 3: Jane bestod ikke eksamen.
Inferens: Mindst én elev i Janes klasse bestod ikke prøven.
Indledning: Det er ikke sandt, at alle elever i Janes klasse bestod eksamen.
Slutning: Det, læreren sagde, var ikke sandt.

Et andet bevis for den samme konklusion ville være

Fakt 1: Læreren sagde, at alle eleverne i Janes klasse bestod eksamen.
Fakt 2: Jane er en elev i Janes klasse.
Indledning: Hvis det, som læreren sagde, var sandt, så bestod Jane eksamen.
Fakt 3: Jane bestod ikke eksamen.
Slutning: Jane har ikke bestået eksamen.
Konklusion: Konklusion: Det, som læreren sagde, var ikke sandt.

Som sagt er konklusionen gyldigt udledt af de udsagn, der går forud for den (argumentets præmisser). Men fordi den er udledt af kendsgerninger ved hjælp af andre gyldige slutninger, kan vi nu sige, at vi har et bevis for, at konklusionen er sand. Et bevis er en gyldig slutning, der tager udgangspunkt i kendsgerninger (som formidles ved hjælp af sande udsagn). Der kan dog også foretages gyldige slutninger ud fra udsagn, der ikke er sande.

Det er klart, at et bevis er en gyldig slutning, men ikke enhver gyldig slutning er et bevis. Overvej

Præmis 1: Løver er fugle
Præmis 2: Fugle har vinger
Slutning: Konklusion: Løver har vinger

Konklusionen er gyldigt udledt af præmisserne, men vi bør ikke sige, at vi har bevist, at løver har vinger

. Konklusionen er falsk – og vi kan logisk set ikke hævde, at vi kan bevise noget, der er falsk. Overvej også

Præmis 1: Løver er fugle
Præmis 2: Fugle er dyr
Konklusion: Konklusion: Løver er dyr

Konklusionen er igen gyldigt udledt af præmisserne. Denne gang er konklusionen sand: løver er dyr. Men slutningen er stadig ikke et bevis for konklusionen. En af præmisserne er falsk – og vi kan logisk set ikke hævde, at en falskhed giver støtte til et udsagn.

Indlysende nok beviser ingen af de to slutninger, at dens konklusion er sand. Alligevel er de begge gyldige slutninger, fordi hvert af de følgende hypotetiske udsagn er en tautologi:

• Hvis

løver er fugle, og hvis fugle har vinger, så har løver vinger

• Hvis

løver er fugle, og hvis fugle er dyr, så er løver dyr

I disse hypotetiske udsagn siges der intet om sandheden eller falskheden af konklusionernes forudsætninger eller konklusioner. Udsagnene bekræfter blot, at hvis præmisserne er sande, så er konklusionen sand.

For eksempel er slutningen om Janes eksamensresultat gyldig, fordi følgende hypotetiske udsagn er en tautologi:

• Hvis

alle eleverne i Janes klasse bestod eksamen, og hvis Jane er elev i Janes klasse, så bestod Jane eksamen

Igen er der ikke sagt noget om sandheden eller falskheden af præmisserne eller slutningen af slutningen. Det eneste, der siges, er, at

• Hvis

forudsætningerne er sande, så er konklusionen sand.

Dertil kommer, at fordi dette mønster her repræsenterer en tautologi, som er sand uanset hvad der måtte være tilfældet eller ej, kan vi sige

• Hvis

forudsætningerne er sande, så må konklusionen være sand

Da de hypotetiske udsagn, som vi her har med at gøre, er tautologier, er deres negationer modsigelser. Med hensyn til de slutninger, vi tog som eksempler, opfylder disse negationer mønstret

• Præmisserne er sande, og konklusionen er ikke sand

For eksempel: “Alle eleverne i Janes klasse bestod eksamen, og Jane er elev i Janes klasse, men Jane bestod ikke eksamen”; “Løver er fugle, og fugle har vinger, men nogle løver har ingen vinger”.

Dertil kommer, at fordi det nævnte mønster her repræsenterer negationen af en tautologi, repræsenterer det en selvmodsigelse:

• Udsagnene ‘Præmisserne er sande’ og ‘Konklusionen er ikke sand’ er selvmodsigende

Så, hvis vi har med en gyldig slutning at gøre, kan man logisk set ikke bekræfte slutningens præmisser uden også at bekræfte dens konklusion. Hvis man bekræfter præmisserne for en gyldig slutning, mens man nægter at bekræfte dens konklusion, er man i en modsigelse – man holder noget for sandt, som simpelthen ikke kan være sandt. Med andre ord involverer det en i usammenhængende tale.

Fra det, vi har sagt indtil nu, er det let at forstå, hvordan en logiker går til værks for at kontrollere gyldigheden af en slutning. Det gør han ved at forsøge at finde, konstruere eller forestille sig en situation, hvor præmisserne er sande, men hvor konklusionen er falsk. Med andre ord forsøger han at finde på et modeksempel. Hvis han lykkes med sit forsøg, har han bevist, at slutningen ikke er gyldig.

Den blotte kendsgerning, at det ikke lykkes ham at fremstille et modeksempel, giver os imidlertid ingen tvingende grund til at sige, at han har bevist gyldigheden af den pågældende slutning. Det kan være, at hans søgen efter et modeksempel ikke var udtømmende – at han ikke har overvejet alle muligheder.

Medmindre han kan vise, at hans forsøg har overvejet alle muligheder og derfor udgør et bevis for, at søgen efter et modeksempel er forgæves og håbløs, er hans negative resultat ikke overbevisende. Hvis han derimod kan vise, at han har overvejet alle muligheder og stadig ikke har kunnet finde et modeksempel, er han berettiget til at sige, at der ikke kan eksistere noget modeksempel, og at den slutning, han undersøger, derfor er gyldig.

Derfra kan vi også forstå, at logisk tænkning primært består i at tage højde for alle mulige tilfælde og sammenhænge.