Alai

Denne artikel indeholder en liste over referencer, relateret læsning eller eksterne links, men kilderne er uklare, fordi der mangler inlinecitater. Hjælp venligst med at forbedre denne artikel ved at indføre mere præcise citater. (Juli 2016) (Lær hvordan og hvornår du kan fjerne denne skabelonbesked)

For en bredere dækning af dette emne, se Kanonisk basis.

Det må ikke forveksles med et andet navn for en Gröbner-base.

Sådan er standardbasis for det tredimensionelle rum dannet af vektorerne

e x = ( 1 , 0 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 , 0 ) , e z = ( 0 , 0 , 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}

Her peger vektoren ex i x-retningen, vektoren ey i y-retningen, og vektoren ez i z-retningen. Der findes flere almindelige notationer for vektorer på standardbasis, herunder {ex, ey, ez}, {e1, e2, e3}, {i, j, k} og {x, y, z}. Disse vektorer skrives undertiden med en hat for at understrege deres status som enhedsvektorer (standard-enhedsvektorer).

Disse vektorer er en basis i den forstand, at enhver anden vektor kan udtrykkes entydigt som en lineær kombination af disse. F.eks. kan enhver vektor v i det tredimensionelle rum skrives entydigt som

v x e x + v y e y + v z e z , {\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}

skalarerne vx, vy, vz er de skalare komponenter af vektoren v.

I det n-dimensionelle euklidiske rum R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}} , består standardbasen af n forskellige vektorer

{ e i : 1 ≤ i ≤ n } , { {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}

hvor ei betegner den vektor med en 1 i den i’te koordinat og 0’er andre steder.

Standardbaser kan defineres for andre vektorrum, hvis definition involverer koefficienter, f.eks. polynomier og matricer. I begge tilfælde består standardbasen af de elementer i rummet, således at alle koefficienter undtagen én er 0, og at den koefficient, der ikke er nul, er 1. For polynomier består standardbasen således af monomialerne og kaldes almindeligvis monomialbasen. For matricer M m × n {\displaystyle {\mathcal {M}}}_{m\times n}}} består standardbasen af m×n-matricer med præcis én ikke-nul post, som er 1. F.eks. består standardbasen for 2×2-matricer af de 4 matricer

e 11 = ( 1 0 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 1 0 0 0 ) , e 21 = ( 0 0 1 0 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 0 0 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0&0\0&1\end{pmatrix}}.}