En matrix, der ligner en trekantet matrix, kaldes triangulærbar. Abstrakt set svarer det til at stabilisere et flag: øvre trekantede matricer er netop de matricer, der bevarer standardflaget, som er givet ved den standardordnede basis ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}
og det resulterende flag 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1 , … , e n ⟩ = K n . {\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}
Alle flag er konjugerede (da den generelle lineære gruppe virker transitivt på baser), så enhver matrix, der stabiliserer et flag, svarer til en matrix, der stabiliserer standardflaget.
Alle komplekse kvadratiske matrixer er triangulariserbare. Faktisk svarer en matrix A over et felt, der indeholder alle A’s egenværdier (f.eks. enhver matrix over et algebraisk lukket felt), til en trekantmatrix. Dette kan bevises ved hjælp af induktion på det faktum, at A har en egenvektor, ved at tage kvotientrummet ved egenvektoren og induktion for at vise, at A stabiliserer et flag og dermed er triangulariserbar med hensyn til et grundlag for dette flag.
En mere præcis erklæring gives af Jordan-normalforms-sætningen, som fastslår, at A i denne situation ligner en øvre trekantmatrix af en meget bestemt form. Det enklere triangulariseringsresultat er dog ofte tilstrækkeligt og bruges under alle omstændigheder til at bevise Jordan normalforms-sætningen.
I tilfælde af komplekse matricer er det muligt at sige mere om triangularisering, nemlig at enhver kvadratisk matrix A har en Schur-dekomponering. Det betyder, at A er unitarisk ækvivalent (dvs. ligner, hvis man bruger en unitær matrix som basisændring) til en øvre trekantmatrix; dette følger ved at tage en Hermitisk basis for flaget.
Simultan triangularisérbarhedRediger
En mængde af matricer A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}}
siges at være samtidigt trekantbar, hvis der findes et grundlag, hvorunder de alle er øvre trekantede; tilsvarende, hvis de er øvre trekantbare med en enkelt lighedsmatrice P. Et sådant sæt af matricer forstås lettere ved at betragte den algebra af matricer, som det genererer, nemlig alle polynomier i A i , {\displaystyle A_{i},}
betegnet K . {\displaystyle K.}
Simultan triangularisérbarhed betyder, at denne algebra er konjugeret til Lie-subalgebraen af øvre trekantede matricer og er ækvivalent med, at denne algebra er en Lie-subalgebra af en Borel-subalgebra.
Det grundlæggende resultat er, at (over et algebraisk lukket felt), de kommuterende matricer A , B {\displaystyle A,B}
eller mere generelt A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
er samtidig triangularisérbare. Dette kan bevises ved først at vise, at kommuterende matricer har en fælles egenvektor, og derefter at inducere på dimensionen som før. Dette blev bevist af Frobenius fra 1878 for et kommuterende par, som beskrevet under kommuterende matricer. Som for en enkelt matrix kan disse over de komplekse tal triangulæriseres af unitære matricer.
Den kendsgerning, at kommuterende matricer har en fælles egenvektor, kan fortolkes som et resultat af Hilberts Nullstellensatz: kommuterende matricer danner en kommutativ algebra K {\displaystyle K}
over K {\displaystyle K}
, som kan fortolkes som en variation i k-dimensionelle affine rum, og eksistensen af en (fælles) egenværdi (og dermed en fælles egenvektor) svarer til, at denne variation har et punkt (er ikke-tomt), hvilket er indholdet af den (svage) Nullstellensatz. I algebraiske termer svarer disse operatører til en algebraisk repræsentation af polynomialalgebraen i k variabler.
Dette er generaliseret ved Lie’s sætning, som viser, at enhver repræsentation af en opløselig Lie-algebra samtidig er upper triangularizable, idet tilfældet med kommuterende matricer er tilfældet med abelisk Lie-algebra, idet abelisk a fortiori er opløselig.
Mere generelt og præcist er et sæt af matricer A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}}
er samtidig trekantbar, hvis og kun hvis matrixen p ( A 1 , … , A k ) {\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})}
er nilpotent for alle polynomier p i k ikke-sammenfaldende variabler, hvor {\displaystyle }
er kommutatoren; for kommuterende A i {\displaystyle A_{i}}
forsvinder kommutatoren, så dette gælder. Dette blev bevist i (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951); et kort bevis er givet i (Prasolov 1994, pp. 178-179). En retning er klar: Hvis matricerne samtidig er trekantbare, så {\displaystyle }
er strengt øvre triangularisérbar (og dermed nilpotent), hvilket bevares ved multiplikation med en hvilken som helst A k {\displaystyle A_{k}}
eller en kombination heraf – den vil stadig have 0’er på diagonalen i den triangulæriserende basis.