Suuri osa babylonialaista matematiikkaa kuvaavista savitauluista kuuluu vanhaan Babyloniaan, minkä vuoksi Mesopotamian matematiikkaa kutsutaan yleisesti babylonialaiseksi matematiikaksi. Osa savitauluista sisältää matemaattisia luetteloita ja taulukoita, osa ongelmia ja työstettyjä ratkaisuja.
AritmetiikkaEdit
Babylonialaiset käyttivät ennalta laskettuja taulukoita aritmetiikan apuna. Esimerkiksi kahdessa Eufratin varrella sijaitsevasta Senkerahista vuonna 1854 löydetyssä, vuodelta 2000 eaa. peräisin olevassa taulussa on luettelot lukujen neliöistä 59:ään asti ja lukujen kuutioista 32:een asti. Babylonialaiset käyttivät neliölistoja yhdessä kaavojen kanssa:
a b = ( a + b ) 2 – a 2 – b 2 2 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}}{2}}}}}
a b = ( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 4 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}}}
kertolaskun yksinkertaistamiseksi.
Babylonialaisilla ei ollut algoritmia pitkälle jaolle. Sen sijaan he perustivat menetelmänsä siihen, että:
a b = a × 1 b {\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}
sekä vastavuoroisuustaulukko. Luvuilla, joiden ainoat alkutekijät ovat 2, 3 tai 5 (niin sanotut 5-suorat tai säännönmukaiset luvut), on äärelliset vastakohdat seksagesimaalilukumerkinnöissä, ja on löydetty taulukoita, joissa on laajat luettelot näistä vastakohdista.
Luvuilla, kuten 1/7, 1/11, 1/13 jne. ei ole äärellisiä esityksiä seksagesimaalilukumerkinnöissä. Laskeakseen 1/13 tai jakaakseen luvun 13:lla babylonialaiset käyttivät approksimaatiota kuten:
1 13 = 7 91 = 7 × 1 91 ≈ 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600 . {\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.}
AlgebraEdit
Babylonialaisessa savitaulussa YBC 7289 (n. 1800-1600 eaa.) annetaan √2:n approksimaatio neljällä sekagesimaaliluvulla 1;24,51,10, joka on tarkka noin kuuden desimaalin tarkkuudella ja joka on lähin mahdollinen kolmen paikan sekagesimaalilukumuotoinen esitystapa √2:lle:
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 = 1.41421 296 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}}.}
Aritmeettisten laskutoimitusten lisäksi babylonialaiset matemaatikot kehittelivät myös algebrallisia menetelmiä yhtälöiden ratkaisemiseen. Jälleen kerran nämä perustuivat valmiiksi laskettuihin taulukoihin.
Kvadraattisen yhtälön ratkaisemiseen babylonialaiset käyttivät lähinnä tavallista kvadraattista kaavaa. He tarkastelivat kvadraattisia yhtälöitä, jotka olivat muotoa:
x 2 + b x = c {\displaystyle \ x^{2} + bx=c}
jossa b ja c eivät välttämättä olleet kokonaislukuja, mutta c oli aina positiivinen. He tiesivät, että tämän muotoisen yhtälön ratkaisu on:
x = – b 2 + ( b 2 ) 2 + c {\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}}}
ja he löysivät neliöjuuret tehokkaasti jakamalla ja keskiarvottamalla. He käyttivät aina positiivista juurta, koska se oli järkevää ratkaistaessa ”oikeita” ongelmia. Tämäntyyppisiin ongelmiin kuului suorakulmion mittojen löytäminen, kun annettiin sen pinta-ala ja määrä, jolla pituus ylittää leveyden.
Taulukoita n3 + n2:n arvoista käytettiin tiettyjen kuutioyhtälöiden ratkaisemiseen. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä:
a x 3 + b x 2 = c . {\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}
Kertomalla yhtälö a2:lla ja jakamalla b3:lla saadaan:
( a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 . {\displaystyle \left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}} ^{2})^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}.}
Korvaamalla y = ax/b saadaan:
y 3 + y 2 = c a 2 b 3 {\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}
joka voitaisiin nyt ratkaista etsimällä taulukosta n3 + n2 arvo, joka on lähimpänä oikeaa puolta. Babylonialaiset onnistuivat tässä ilman algebrallisia merkintöjä, mikä osoittaa huomattavan syvällistä ymmärrystä. Heillä ei kuitenkaan ollut menetelmää yleisen kuutioyhtälön ratkaisemiseen.
KasvuEdit
Babylonialaiset mallinsivat eksponentiaalista kasvua, rajoitettua kasvua (eräänlaisten sigmoidifunktioiden avulla) ja kaksinkertaistumisaikaa, jälkimmäistä lainojen korkojen yhteydessä.
Savitauluissa noin vuodelta 2000 eaa. on harjoitus: ”Kun korkokanta on 1/60 kuukaudessa (ei yhdistelmäkorkoa), laske kaksinkertaistumisaika”. Tästä saadaan vuotuiseksi koroksi 12/60 = 20 % ja siten kaksinkertaistumisajaksi 100 % kasvu/20 % kasvu vuodessa = 5 vuotta.
Plimpton 322Edit
Plimpton 322 -taulu sisältää luettelon ”Pythagoraan kolmioista” eli kokonaisluvuista ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)}.
sellaisia, että a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}}
.kolmosia on liian monta ja liian suuria, jotta ne olisi saatu raa’alla voimalla.
Aiheesta on kirjoitettu paljon, mukaan lukien spekulaatioita (ehkä anakronistisia) siitä, olisiko taulu voinut toimia varhaisena trigonometrisena taulukkona. On varottava näkemästä taulua niiden menetelmien kannalta, jotka olivat tuon ajan kirjureille tuttuja tai jotka olivat heidän käytettävissään.
Kysymykseen ”miten taululla laskettiin?” ei tarvitse olla samaa vastausta kuin kysymykseen ”mitä ongelmia taululla asetetaan?”. Ensimmäiseen voidaan vastata tyydyttävimmin vastavuoroisilla pareilla, kuten puoli vuosisataa sitten ensimmäisen kerran ehdotettiin, ja jälkimmäiseen jonkinlaisilla suorakulmaisilla kolmio-ongelmilla.
(E. Robson, ”Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322”, Historia Math. 28 (3), s. 202).
GeometriaEdit
Babylonialaiset tunsivat yleiset säännöt tilavuuksien ja pinta-alojen mittaamiseen. He mittasivat ympyrän kehän kolminkertaisena halkaisijaan nähden ja pinta-alan kahdestoistaosana kehän neliöstä, mikä olisi oikein, jos π:n arvoksi arvioidaan 3. He olivat tietoisia siitä, että tämä oli likimääräinen arvio, ja eräässä Suusan läheltä vuonna 1936 kaivetussa vanhababylonialaisessa matemaattisessa taulussa (joka ajoittuu 1800- ja 1600-luvuille eaa. välille) annetaan π:n paremmaksi likimääräiseksi arvoksi 25/8=3.Sylinterin tilavuudeksi katsottiin pohjan ja korkeuden tulo, mutta kartion tai neliönmuotoisen pyramidin rungon tilavuudeksi katsottiin virheellisesti korkeuden ja puolen pohjien summan tulo. Myös babylonialaiset tunsivat Pythagoraan lauseen.
”Babylonialainen maili” oli etäisyyden mitta, joka vastasi noin 11,3 kilometriä (tai noin seitsemää modernia mailia).Tämä etäisyyksien mitta muuttui lopulta ”aikamailiksi”, jota käytettiin Auringon matkan mittaamiseen ja joka edusti siten aikaa.
Muinaiset babylonialaiset olivat tunteneet samankaltaisten kolmioiden sivujen suhteita koskevat teoreemat jo vuosisatojen ajan, mutta heiltä puuttui kulmamitan käsite ja sen vuoksi he tutkivat sen sijaan kolmioiden sivuja.
Babylonialaiset tähtitieteilijät pitivät yksityiskohtaista kirjaa tähtien noususta ja laskusta, planeettojen liikkeistä sekä auringon- ja kuunpimennyksistä, jotka kaikki edellyttivät taivaankehästä mitattujen kulmaetäisyyksien tuntemusta.
He käyttivät myös eräänlaista Fourier-analyysia efemeridien (tähtitieteellisten sijaintitaulukoiden) laskemiseen, jonka Otto Neugebauer löysi 1950-luvulla. Taivaankappaleiden liikkeitä koskevien laskelmien tekemiseen babylonialaiset käyttivät perusaritmetiikkaa ja koordinaatistoa, joka perustui ekliptikkaan eli siihen taivaan osaan, jonka läpi aurinko ja planeetat kulkevat.
Britannialaisessa museossa säilytettävät taulukot antavat todisteita siitä, että babylonialaiset menivät jopa niin pitkälle, että heillä oli käsitys kohteista abstraktissa matemaattisessa avaruudessa. Taulut ovat peräisin vuosien 350 ja 50 eaa. väliseltä ajalta, mikä paljastaa, että babylonialaiset ymmärsivät ja käyttivät geometriaa jo aiemmin kuin aiemmin on luultu. Babylonialaiset käyttivät menetelmää, jolla arvioitiin käyrän alle jäävä pinta-ala piirtämällä sen alle puolisuunnikkaan, ja tämän tekniikan uskottiin aiemmin olevan peräisin 1300-luvun Euroopasta. Tämän arviointimenetelmän avulla he pystyivät esimerkiksi selvittämään matkan, jonka Jupiter oli kulkenut tietyssä ajassa.