Kelly syntyi 27. lokakuuta 1984 Westminsterissä, Lontoossa, Yhdistyneessä kuningaskunnassa. Hän on heavy metal -laulaja/lauluntekijä Ozzy Osbournen (entinen 70-luvun heavy metal -yhtye Black Sabbath) ja musiikkimanageri/tv-juontaja Sharon Osbournen tytär.
Kelly debytoi televisiossa vuonna 2002 tosi-tv-sarjassa The Osbournes, joka voitti vuonna 2002 Emmy-palkinnon erinomaisesta tosi-tv-ohjelmasta. Kelly jatkoi E!’s Fashion Police -ohjelman panelistina ja juontajana kuuluisan koomikon Joan Riversin rinnalla. Hän osallistui myös Tanssii tähtien kanssa -kilpailuun, jossa hän oli Louis van Amstelin parina ja sijoittui kolmanneksi. Kelly on myös esiintynyt valkokankaalla yli kymmenessä elokuvassa, joista suurin osa oli ”itsensä” roolissa.
Kelly on isänsä tavoin tehnyt myös musiikkiuraa. Tätä kirjoitettaessa hän on julkaissut kaksi albumia ja ollut ehdolla 7 eri palkinnon saajaksi. Osbourne julkaisi debyytti studioalbuminsa ”Shut Up” vuonna 2002. Albumi nousi Yhdysvaltain Heatseekers-listan sijalle 1 ja Isossa-Britanniassa sijalle 31. Hän julkaisi albumin ”Sleeping in the Nothing” vuonna 2005. Albumi nousi sekä Yhdysvaltain Heatseekers- että Yhdysvaltain Electronic-listan sijalle 2. Hänen suosittuihin singleihinsä kuuluvat ”Papa Don’t Preach”, ”Shut Up”, ”Changes” (Ozzy Osbournen kanssa) ja ”One Word”. Hän on voittanut kolme Teen Choice Awards -palkintoa (voittaen yhden TV: Choice Breakout Star, Female ja toisen Choice TV Reality/Variety Star – Female);
Hän on toiminut tuomarina tv-sarjoissa Project Runway Junior ja Australia’s Got Talent. Hän on tehnyt erilaisia äänitöitä, muun muassa Hildy Gloom Disney XD:n televisiosarjassa The 7D.