Matriisia, joka on kolmionmuotoisen matriisin kaltainen, kutsutaan kolmionmuotoiseksi. Abstraktisti tämä vastaa lipun stabilointia: ylemmät kolmiomatriisit ovat nimenomaan sellaisia, jotka säilyttävät standardilipun, jonka antaa standardijärjestetty perusta ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}
ja tuloksena oleva lippu 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⋯ < ⋯ < ⟨ ⟨ e 1 , … , e n ⟩ = K n . {\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}
Kaikki liput ovat konjugoituneita (koska yleinen lineaarinen ryhmä vaikuttaa emäksille transitiivisesti), joten mikä tahansa matriisi, joka stabiloi lippua, on samanlainen kuin matriisi, joka stabiloi tavallista lippua.
Jokainen kompleksinen neliömatriisi on kolmioitavissa. Itse asiassa matriisi A sellaisen kentän yli, joka sisältää kaikki A:n ominaisarvot (esimerkiksi mikä tahansa matriisi algebrallisesti suljetun kentän yli), on samanlainen kuin kolmiomatriisi. Tämä voidaan todistaa käyttämällä induktiota siihen, että A:lla on omavektori, ottamalla omavektorin muodostama sitaattiavaruus ja induktiolla osoittamalla, että A stabiloi lippua ja on siten kolmiomuunneltavissa kyseisen lippupohjan suhteen.
Tarkemman lausuman antaa Jordanin normaalimuodon teoreema, joka sanoo, että tässä tilanteessa A on samankaltainen kuin ylempi kolmiomuotoinen matriisi, jonka muoto on hyvin erityinen. Yksinkertaisempi kolmiomuunnostulos on kuitenkin usein riittävä, ja sitä käytetään joka tapauksessa Jordanin normaalimuodon lauseen todistamisessa.
Kompleksisten matriisien tapauksessa voidaan kolmiomuunnoksesta sanoa enemmänkin, nimittäin, että millä tahansa neliömatriisilla A on Schur-dekompositio. Tämä tarkoittaa, että A on unitäärisesti ekvivalentti (eli samankaltainen, kun käytetään unitääristä matriisia perustan muutoksena) ylemmän kolmiulotteisen matriisin kanssa; tämä seuraa ottamalla lippua varten Hermitin perusta.
Samanaikainen kolmiulotteisuusEdit
Matriisien A 1 , … , A k joukko {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
sanotaan olevan yhtäaikaisesti kolmiokulmioitavissa, jos on olemassa perusta, jonka mukaan ne kaikki ovat ylemmän kolmiokulmion mukaisia; vastaavasti, jos ne ovat ylemmän kolmiokulmioitavissa yhdellä samankaltaisuusmatriisilla P. Tällainen matriisien joukko on helpompi ymmärtää tarkastelemalla sen tuottamaa matriisialgebraa, nimittäin kaikkia polynomeja A i , {\displaystyle A_{i},}
merkitty K . {\displaystyle K.}
Samanaikainen kolmiuloitteisuus tarkoittaa, että tämä algebra on konjugoitunut ylempien kolmiulotteisten matriisien Lie-algebraan, ja se vastaa sitä, että tämä algebra on Borel-algebran Lie-algebra.
Perustulos on, että (algebrallisesti suljetun kentän yli) kommutoivat matriisit A , B {\displaystyle A,B}
tai yleisemmin A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}
ovat yhtäaikaisesti kolmioitavissa. Tämä voidaan todistaa osoittamalla ensin, että kommutoivilla matriiseilla on yhteinen ominaisvektori, ja sitten indusoimalla dimensiosta kuten aiemmin. Frobenius todisti tämän vuodesta 1878 alkaen kommutoivalle parille, kuten käsitellään kohdassa kommutoivat matriisit. Mitä tulee yksittäiseen matriisiin, kompleksiluvuilla nämä voidaan kolmioida unitäärisillä matriiseilla.
Se, että kommutoivilla matriiseilla on yhteinen ominaisvektori, voidaan tulkita Hilbertin Nullstellensatzin tuloksena: Kommutoivat matriisit muodostavat kommutatiivisen algebran K {\displaystyle K}
yli K {\displaystyle K}
, joka voidaan tulkita varieteettina k-ulotteisessa affiinisessa avaruudessa, ja (yhteisen) ominaisarvon (ja siten yhteisen ominaisvektorin) olemassaolo vastaa sitä, että tällä moninaisuudella on piste (joka ei ole tyhjä), mikä on (heikon) Nullstellensatzin sisältö. Algebrallisessa mielessä nämä operaattorit vastaavat k-muuttujan polynomialgebran algebrallista esitystä.
Tämä on yleistetty Lien lauseella, joka osoittaa, että mikä tahansa ratkaisukelpoisen Lie-algebran esitys on samalla ylempi kolmiomuunneltavissa, kommutoivien matriisien tapaus on abeliaanisen Lie-algebran tapaus, abeliaanisen ollessa a fortiori ratkaisukelpoinen.
Yleistä yleisemmin ja tarkemmin matriisien A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}} joukko
on yhtäaikaisesti kolmioitavissa, jos ja vain jos matriisi p ( A 1 , … , A k ) {\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})}
on nilpotentti kaikille polynomeille p k:ssa ei-kommutoivissa muuttujissa, missä {\displaystyle }
on kommutaattori; kommutoiville A i {\displaystyle A_{i}}
kommutaattori häviää, joten tämä pätee. Tämä todistettiin (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951); lyhyt todistus on esitetty (Prasolov 1994, s. 178-179). Yksi suunta on selvä: jos matriisit ovat yhtäaikaisesti kolmioitavissa, niin {\displaystyle }
on tiukasti ylemmän kolmiuloitteinen (siis nilpotentti), mikä säilyy kerrottuna millä tahansa A k {\displaystyle A_{k}}
tai niiden yhdistelmällä – siinä on edelleen 0:t diagonaalilla kolmiomuunnospohjassa.