Mitä on matematiikka?Matematiikka on vanha, laaja ja syvällinen tieteenala (oppiala). Matematiikan opetuksen parantamiseksi työskentelevien ihmisten on ymmärrettävä: ”Mitä matematiikka on?” |
|
Historiaa
Matematiikka virallisena opetuksen ja oppimisen alueena kehitettiin noin 5000 vuotta sitten sumerilaisten toimesta. He tekivät tämän samaan aikaan, kun he kehittivät lukemista ja kirjoittamista. Matematiikan juuret ulottuvat kuitenkin paljon kauemmas kuin 5 000 vuoden päähän.
Kautta historiansa ihmiset ovat kohdanneet tarpeen mitata ja kommunikoida ajasta, määrästä ja etäisyyksistä. Ishangon luu (ks. ahttp://www.math.buffalo.edu/mad/
Ancient-Africa/ishango.html ja http://www.naturalsciences.be/expo/ishango/
en/ishango/riddle.html) on noin 20 000 vuotta vanha luinen työkalukahva.
Kuvio 1
Alhaalla olevassa kuvassa näkyvät sumerilaiset savesta tehdyt rahakkeet, joiden käyttäminen aloitettiin noin 11 000 vuotta sitten (ks. http://www.sumerian.org/tokens.htm). Tällaiset savimerkit olivat lukemisen, kirjoittamisen ja matematiikan edeltäjä.
Kuva 2
Lukemisen, kirjoittamisen ja muodollisen matematiikan kehittyminen 5 000 vuotta sitten mahdollisti matemaattisen tietämyksen koodaamisen, muodollisen matematiikan opetuksen ja aloitti matemaattisen tietämyksen tasaisen karttumisen.
Matematiikka tieteenalana
Matematiikan kaltaista tieteenalaa (järjestäytynyttä, muodollista tieteenalaa), kuten matematiikkaa, on tapana määritellä sen käsittelemien ongelmien tyypin, näiden ongelmien ratkaisemiseen käytettyjen menetelmien ja saavutettujen tulosten perusteella. Yksi tapa järjestää tämä tietomäärä on jakaa se seuraaviin kolmeen kategoriaan (ne ovat tietysti päällekkäisiä):
- Matematiikka inhimillisenä pyrkimyksenä. Tarkastellaan esimerkiksi ajan mittaamiseen liittyvää matematiikkaa, kuten vuosia, vuodenaikoja, kuukausia, viikkoja, päiviä ja niin edelleen. Tai miettikää etäisyyden mittaamista ja eri puolilla maailmaa kehittyneitä erilaisia etäisyydenmittausjärjestelmiä. Tai mieti matematiikkaa taiteessa, tanssissa ja musiikissa. Matematiikan ja matemaattisten käyttötapojen inhimillisen kehityksen historia nyky-yhteiskunnassamme on rikas.
- Matematiikka tieteenalana. Tunnet paljon akateemisia tieteenaloja, kuten arkeologiaa, biologiaa, kemiaa, taloustiedettä, historiaa, psykologiaa, sosiologiaa ja niin edelleen. Matematiikka on laaja ja syvä tieteenala, jonka laajuus ja syvyys kasvaa jatkuvasti. Nykyään matematiikan väitöskirjatutkimus keskittyy tyypillisesti kapea-alaisesti määritelmiin, teoreemoihin ja todistuksiin, jotka liittyvät yhteen ainoaan ongelmaan jollakin kapealla matematiikan osa-alueella.
- Matematiikka poikkitieteellisenä kielenä ja välineenä. Lukemisen ja kirjoittamisen tavoin matematiikka on tärkeä osa oppimista ja ”tekemistä” (oman tiedon käyttämistä) kullakin tieteenalalla. Matematiikka on niin hyödyllinen kieli ja väline, että sitä pidetään yhtenä virallisen koulutusjärjestelmämme ”perusasioista”.
Opiskelijat ja monet heidän opettajistaan määrittelevät matematiikan pitkälti sen perusteella, mitä he oppivat matematiikan kursseilla, ja näillä kursseilla keskitytään yleensä kurssiin #3. Opetuksessa ja arvioinnissa keskitytään yleensä perustaitoihin ja suhteellisen yksinkertaisten ongelmien ratkaisemiseen näitä perustaitoja käyttäen. Kuten edellä esitetty kolmen osatekijän keskustelu osoittaa, tämä on vain osa matematiikkaa.
Jopa kolmannen osatekijän sisällä ei ole selvää, mitä opetussuunnitelmassa, opetuksessa ja arvioinnissa pitäisi painottaa. Kysymys perustaidoista ja korkeamman asteen taidoista on erityisen tärkeä matematiikan opetuksessa. Kuinka suuri osa matematiikan opetukseen käytetystä ajasta tulisi käyttää siihen, että oppilaita autetaan saavuttamaan korkea tarkkuus- ja automaatiotaso laskennallisissa ja proseduraalisissa perustaidoissa? Kuinka paljon aikaa tulisi käyttää korkeamman asteen taitoihin, kuten ongelman asettamiseen, ongelmien esittämiseen, monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseen ja matemaattisten tietojen ja taitojen siirtämiseen muiden kuin matemaattisten tieteenalojen ongelmiin?
Matematiikan kauneus
Vähän harvat K-12-luokkien opettajat opiskelevat niin paljon matematiikkaa, että he ymmärtävät ja arvostavat tieteenalan laaja-alaisuutta, syvyyttä, monimutkaisuutta ja kauneutta. Matemaatikot puhuvat usein tietyn todistuksen tai matemaattisen tuloksen kauneudesta. Muistatko, että joku K-12-luokan matematiikanopettajistasi olisi koskaan puhunut matematiikan kauneudesta?
G. H. Hardy oli yksi maailman johtavista matemaatikoista 1900-luvun alkupuoliskolla. Kirjassaan ”A Mathematician’s Apology” hän käsittelee pitkään puhtaan ja soveltavan matematiikan välisiä eroja. Hän käsittelee kahta esimerkkiä (kauniista) puhtaan matematiikan ongelmista. Nämä ovat ongelmia, joita jotkut yläkoululaiset ja lukiolaiset voisivat hyvinkin ratkaista, mutta ne ovat aivan erilaisia kuin ne matematiikan lajit, joita nykyisessä K-12-opetussuunnitelmassamme käsitellään. Molemmat näistä ongelmista ratkaistiin yli 2000 vuotta sitten, ja ne edustavat sitä, mitä matemaatikot tekevät.
- Rationaaliluku on luku, joka voidaan ilmaista kahden kokonaisluvun murtolukuna. Osoita, että neliöjuuri 2:sta ei ole rationaaliluku. Huomaa, että 2:n neliöjuuri syntyy luonnollisella tavalla, kun käytetään maanmittaus- ja puusepäntekniikoita.
- Primiluku on positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1 ja jonka ainoat positiiviset kokonaisluvun jakajat ovat hän itse ja 1. Todista, että primilukuja on ääretön määrä. Viime vuosina hyvin suuret alkuluvut ovat osoittautuneet varsin käyttökelpoisiksi sähköisten viestien salauksessa.
Ongelmanratkaisu
Seuraavaa kaaviota voidaan käyttää keskusteltaessa soveltavien matemaattisten ongelmien esittämisestä ja ratkaisemisesta K-12-tasolla. Tämä kaavio on erityisen hyödyllinen keskusteltaessa nykyisestä K-12 matematiikan opetussuunnitelmasta.
Kuvio 3
Kuvatut kuusi vaihetta ovat: 1) Ongelman asettaminen; 2) Matemaattinen mallintaminen; 3) Laskennallisen tai algoritmisen menettelyn käyttäminen laskennallisen tai algoritmisen matemaattisen ongelman ratkaisemiseen; 4) Matemaattinen ”purkaminen” (unmodelling); 5) Tulosten pohtiminen sen selvittämiseksi, onko selvästi määritelty ongelma ratkaistu; ja 6) Sen pohtiminen, onko alkuperäinen ongelmatilanne ratkaistu. Vaiheisiin 5 ja 6 kuuluu myös sellaisten asiaan liittyvien ongelmien ja ongelmatilanteiden pohtiminen, joita saatetaan haluta käsitellä tai jotka syntyvät prosessissa tai yrityksessä ratkaista alkuperäinen selkeästi määritelty ongelma tai ratkaista alkuperäinen ongelmatilanne. Klikkaa tästä saadaksesi lisätietoja ongelmanratkaisusta.
Loppuhuomautukset
Tässä on neljä hyvin tärkeää seikkaa, jotka nousevat esiin kuvassa 3 esitetyn kaavion ja tässä osiossa aiemmin esitetyn materiaalin tarkastelusta:
- Matematiikka on apuväline, jonka avulla voidaan esittää ja yrittää ratkaista ongelmatilanteita kaikilla tieteenaloilla. Se on poikkitieteellinen työkalu ja kieli.
- Tietokoneet ja laskimet ovat erittäin nopeita, tarkkoja ja kykeneviä tekemään vaiheen 3.
- Nykyinen K-12-luokkien matematiikan opetussuunnitelmamme käyttää suurimman osan ajastaan siihen, että oppilaita opetetaan tekemään vaihe 3 käyttämällä henkisiä ja fyysisiä välineitä (kuten kynää ja paperia), joita on käytetty satojen vuosien ajan. Voimme ajatella tätä niin, että oppilaita opetetaan kilpailemaan koneiden kanssa sen sijaan, että he oppisivat työskentelemään koneiden kanssa.
- Nykyinen matematiikan koulutusjärjestelmämme esikoulu- ja kouluasteella on epätasapainossa alemman asteen tietojen ja taitojen (painottaen aivan liikaa kaaviossa olevaa vaihetta 3) ja ylemmän asteen tietojen ja taitojen (kaikki muut kaaviossa olevat vaiheet) välillä. Se on heikko matematiikassa inhimillisenä pyrkimyksenä ja tieteenalana.
On kolme voimakasta muutostekijää, jotka lopulta helpottavat ja pakottavat tekemään suuria muutoksia matematiikan koulutusjärjestelmässämme.
- Aivotutkimus, jota aivojen skannauslaitteet ja aivotoiminnan tietokonekartoitus ja -mallinnus auttavat suuresti, lisää merkittävästi ymmärrystämme siitä, miten aivot oppivat matematiikkaa ja käyttävät matemaattisia tietojaan ja taitojaan.
- Tietokone- ja tietotekniikka tarjoaa tehokkaita apuvälineitä monille eri tutkimusaloille (kuten aivotieteeseen), matematiikan opetukseen (esimerkiksi käyttämällä erittäin vuorovaikutteista älykästä tietokoneavusteista oppimista, jota voidaan toteuttaa Internetin välityksellä), matematiikan sisältöön (esimerkiksi laskennalliseen matematiikkaan) sekä matematiikan tekemisen ”menettelyjen” esittämiseen ja automatisointiin.
- Matemaattisen tietämyksen kokonaisuuden ja sen sovellusten jatkuva kasvu kaikkien akateemisten tieteenalojen ongelmien esittämisessä ja ratkaisemisessa auttamisessa.
Sivun alkuun
.