Alai

Tämä artikkeli sisältää luettelon viitteistä, aiheeseen liittyvää lukemista tai ulkoisia linkkejä, mutta sen lähteet jäävät epäselviksi, koska siitä puuttuvat riviviittaukset. Auta parantamaan tätä artikkelia ottamalla käyttöön tarkemmat viittaukset. (Heinäkuu 2016) (Opi, miten ja milloin voit poistaa tämän mallin mukaisen viestin)

Laajempi kattavuus tästä aiheesta, katso kanoninen perusta.

Ei pidä sekoittaa toiseen nimeen Gröbnerin perusta.

Vastaavasti kolmiulotteisen avaruuden standardiperusta muodostuu vektoreista

e x = ( 1 , 0 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 , 0 ) , e z = ( 0 , 0 , 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}

Tässä vektori ex osoittaa x:n suuntaan, vektori ey osoittaa y:n suuntaan ja vektori ez osoittaa z:n suuntaan. Vakiopohjaisille vektoreille on useita yleisiä merkintöjä, kuten {ex, ey, ez}, {e1, e2, e3}, {i, j, k} ja {x, y, z}. Nämä vektorit kirjoitetaan joskus hatulla korostamaan niiden asemaa yksikkövektoreina (vakioyksikkövektorit).

Nämä vektorit ovat perusta siinä mielessä, että mikä tahansa muu vektori voidaan ilmaista yksikäsitteisesti niiden lineaarikombinaationa. Esimerkiksi jokainen vektori v kolmiulotteisessa avaruudessa voidaan kirjoittaa yksikäsitteisesti muodossa

v x e x + v y e y + v z e z , {\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}

skalaarit vx, vy, vz, jotka ovat vektorin v skalaarikomponentit.

N-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}} , vakioperusta koostuu n eri vektorista

{ e i : 1 ≤ i ≤ n } , {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}

jossa ei tarkoittaa vektoria, jonka i:nnessä koordinaatissa on 1 ja muualla 0.

Standardiperustat voidaan määritellä myös muille vektoriavaruuksille, joiden määrittelyyn liittyy kertoimia, kuten polynomeille ja matriiseille. Molemmissa tapauksissa standardiperusta koostuu avaruuden sellaisista alkioista, joiden kaikki kertoimet yhtä lukuun ottamatta ovat 0 ja nollasta poikkeava on 1. Polynomien osalta standardiperusta koostuu siis monomeista ja sitä kutsutaan yleisesti monomiperustaksi. Matriiseille M m × n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}} standardiperusta koostuu m × n-matriiseista, joissa on täsmälleen yksi nollasta poikkeava merkintä, joka on 1. Esimerkiksi 2 × 2 -matriisien standardiperusta muodostuu neljästä matriisista

e 11 = ( 1 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 1 0 0 ) , e 21 = ( 0 0 0 1 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0\\\0&1\end{pmatrix}}.}