Alai

Matemaattisessa analyysissä yhtenäinen normi (tai sup-normi) määrittää joukolle S määritellyille reaali- tai kompleksiarvoisille rajoitetuille funktioille f ei-negatiivisen luvun

Neliön kehä on niiden R2:n pisteiden joukko, joissa sup-normi on yhtä suuri kuin kiinteä positiivinen vakio.

‖ f ‖ ∞ = ‖ f ‖ ∞ , S = sup { | f ( x ) | : x ∈ S } } . {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,\left|f(x)\right|:x\in S\,\right\}.}

Tätä normistoa kutsutaan myös nimellä supremum-normi, Tšebyševin normi, äärettömyysnormi tai, kun supremum on itse asiassa maksimi, maksiminormi. Nimitys ”yhtenäinen normi” juontuu siitä, että funktioiden { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} konvergoi kohti f {\displaystyle f} yhtenäisestä normista johdetun metriikan mukaan, jos ja vain jos f n {\displaystyle f_{n}} konvergoi kohti f {\displaystyle f} tasaisesti.

Tämän normin tuottamaa metriikkaa kutsutaan Tšebyševin metriikaksi sen ensimmäisenä systemaattisesti tutkineen Pafnutti Tšebyševin mukaan.

Jos sallimme rajoittamattomat funktiot, tämä kaava ei tuota normia tai metriikkaa tiukassa mielessä, joskin saadun niin sanotun laajennetun metriikan avulla saadaan edelleen määriteltyä topologia kyseiselle funktioavaruudelle.

Jos f on jatkuva funktio suljetulla intervallialueella tai yleisemmin kompaktilla joukolla, niin se on rajattu ja edellä olevassa määritelmässä oleva supremum saavutetaan Weierstrassin ääriarvoteoremin avulla, joten voimme korvata supremumin maksimilla. Tällöin normia kutsutaan myös maksiminormiksi.Erityisesti vektorin x = ( x 1 , … , x n ) tapauksessa {\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})} äärellisessä ulottuvuuskoordinaattiavaruudessa, se on muodossa

‖ x ‖ ∞ = max { | x 1 | , … , | x n | } . {\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max\{|x_{1}|,\dots ,|x_{n}|\}.}

Syy indeksiin ”∞” on se, että aina kun f on jatkuva

lim p → ∞ ‖ f ‖ p = ‖ f ‖ ∞ , {\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },}

missä

‖ f ‖ p = ( ∫ D | f | p d μ ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}\left|f\right|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}

jossa D on f:n alue (ja integraali on summa, jos D on diskreetti joukko).

Binäärifunktio

d ( f , g ) = ‖ f – g ‖ ∞ {\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }}}

on tällöin metriikka kaikkien rajattujen funktioiden (ja ilmeisesti minkä tahansa sen osajoukon) avaruudelle tietyllä alueella. Jakso { fn : n = 1, 2, 3, …. } konvergoi tasaisesti funktioon f, jos ja vain jos

lim n → ∞ ‖ f n – f ‖ ∞ = 0. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0.\,}

Voidaan määritellä suljettuja joukkoja ja joukkojen sulkeumia tämän metrisen topologian suhteen; yhtenäisen normin mukaisia suljettuja joukkoja kutsutaan joskus yhtenäisesti suljetuiksi ja sulkeumia yhtenäisiksi sulkeumiksi. Funktioiden joukon A yhtenäinen sulkeutuneisuus on kaikkien niiden funktioiden avaruus, joita voidaan approksimoida yhdenmukaisesti konvergoituvien funktioiden jaksolla A. Esimerkiksi yksi Stone-Weierstrassin lauseen uudelleenlause on, että kaikkien jatkuvien funktioiden joukko on {\displaystyle } on polynomien joukon {\displaystyle } yhtenäinen sulkeuma. .

Kompleksisille jatkuville funktioille kompaktin avaruuden päällä tämä muuttaa sen C*-algebraksi.