A forall x szerzői ezt a definíciót adják az érvényességre (8. oldal):
Egy érv akkor és csak akkor érvényes, ha lehetetlen, hogy az összes premissza igaz legyen, a konklúzió pedig hamis.
Ezt úgy is nevezik, hogy “érvényesség a forma alapján” (21. oldal):
Az imént vizsgált érvek érvényességének nem sok köze van az olyan angol kifejezések jelentéséhez, mint “Jenny nyomorult”, “Dipan lelkes Tolsztoj-olvasó” vagy “Jim sok színdarabban játszott”. Ha egyáltalán köze van a jelentésekhez, akkor az olyan kifejezések jelentéséhez, mint az ‘és’, ‘vagy’, ‘vagy’, ‘nem’ és ‘ha…, akkor…’.
Az ilyen érvényesség automatikusan érvényesíthető a bizonyításellenőrzők segítségével. Feltételezve, hogy a bizonyításellenőrző nem rosszul van felépítve, ha az érv, amit a bizonyításellenőrzőbe beírunk, átmegy, akkor a forma alapján érvényes.
Mondjuk a következő mondatot: “Esik az eső”. Ennek a mondatnak a tagadása úgy is leírható, hogy “Nem az a helyzet, hogy esik az eső”. Jelképezzük az “Esik az eső” mondatot “P”-vel. Ekkor a tagadása “¬P” lenne. A kettőből felépített önellentmondásos mondat a következő lenne: “P ∧ ¬P”, vagyis mind a “P”, mind az “¬P”.
Ezt előfeltevésként használva fel tudunk-e építeni egy alaki szempontból érvényes érvet? Igen, tudunk. Íme egy példa, ahol azt próbálom megmutatni, hogy a “P ∧ ¬P” implikálja a “P”-t.
Az első sor a premissza. A második sort a konjunkció kiküszöbölési szabály (∧E) segítségével kapom, amely lehetővé teszi, hogy a konjunkció (∧) bármelyik oldalát felhasználjam az érvelésemben. Kiderült, hogy amit használtam, “P”, azt akartam megmutatni, és így a bizonyításellenőrző ellenőrizte, hogy elértem a célomat.
Furcsának tűnhet, hogy egy önellentmondásos premissza esetén képes voltam érvényes érvet konstruálni, amely megmutatja, hogy az önellentmondásos premissza egyik konjunkciója következik. Ez még furcsábbá válhat.
Kicsit több munkával meg tudom mutatni, hogy egy önellentmondásos premisszából bármi következik. Legyen “Q” a bármi bármi szimbolizációja. Ez a példa azt mutatja, hogy felépíthetek egy formája szerint érvényes érvet “Q”-ra:
Az első sor tartalmazta az önellentmondásos premisszát, mint az előző példában.
A 2. és a 3. sorban a premissza (1. sor) mindkét oldalára konjunkcióeliminációt (∧E) alkalmaztam, hogy ezeket külön sorokba helyezzem.
Ha már külön sorokban vannak, akkor az ellentmondás bevezetésének szabályát (⊥I) használva a 4. sorban megjegyezhetem, hogy ellentmondásom van (⊥).
Az 5. sorban, mivel ellentmondásom van, azt írhatok, amit akarok. Ezt hívják a robbanás szabályának (X). Mivel a célom “Q”, és a szabály szerint bármit írhatok, amit akarok, ezért “Q”-t írok. A bizonyításellenőrző ellenőrzi, hogy elértem-e a célomat.
Ezeknek a szabályoknak a részleteit lásd a 15. fejezet “A TFL alapszabályai” című fejezetben a forall x-ben.