A babiloni matematikát leíró agyagtáblák többsége az óbabiloniak közé tartozik, ezért a mezopotámiai matematikát általában babiloni matematikának nevezik. Egyes agyagtáblák matematikai listákat és táblázatokat, mások problémákat és kidolgozott megoldásokat tartalmaznak.
AritmetikaSzerkesztés
A babilóniaiak előre kiszámított táblákat használtak a számolás segítésére. Például két, az Eufrátesz partján fekvő Senkerahban 1854-ben talált, i. e. 2000-ből származó tábla felsorolja a számok négyzeteit 59-ig és a számok kockáit 32-ig. A babilóniaiak a négyzetek listáit a következő képletekkel együtt használták:
a b = ( a + b ) 2 – a 2 – b 2 2 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}}{2}}}}}}
a b = ( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 4 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}}}
a szorzás egyszerűsítésére.
A babiloniaknak nem volt algoritmusuk a hosszú osztásra. Ehelyett arra alapozták módszerüket, hogy:
a b = a × 1 b {\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}
egy reciprok táblázatával együtt. Azoknak a számoknak, amelyeknek egyetlen prímtényezője 2, 3 vagy 5 (az úgynevezett 5-sima vagy szabályos számok) véges reciprokai vannak a szexagesimalis jelölésben, és találtak olyan táblázatokat, amelyekben ezek a reciprokák kiterjedt listája szerepel.
Az olyan reciprokák, mint 1/7, 1/11, 1/13 stb. nem rendelkeznek véges ábrázolással a szexagesimalis jelölésben. Az 1/13 kiszámításához vagy egy szám 13-mal való osztásához a babilóniaiak a következő közelítést használták:
1 13 = 7 91 = 7 × 1 91 ≈ 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600 . {\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.}
AlgebraEdit
A babiloni agyagtábla YBC 7289 (Kr. e. 1800-1600 körül) négy hatos számjegyben, 1;24,51,10-ben adja meg √2 közelítését, amely körülbelül hat tizedesjegyig pontos, és √2 legközelebbi lehetséges háromhelyes hatos számjegyű ábrázolása:
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 = 1,41421 296 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}}.}
A számtani számítások mellett a babiloni matematikusok algebrai módszereket is kidolgoztak az egyenletek megoldására. Ezek ismét előre kiszámított táblázatokon alapultak.
A négyzetes egyenlet megoldására a babilóniaiak lényegében a standard négyzetes képletet használták. A következő formájú kvadratikus egyenleteket tekintették:
x 2 + b x = c {\displaystyle \ x^{2}+bx=c}
ahol b és c nem feltétlenül egész számok voltak, de c mindig pozitív volt. Tudták, hogy ennek az egyenletformának a megoldása:
x = – b 2 + ( b 2 ) 2 + c {\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}}\right)^{2}+c}}}}}
és a négyzetgyököket hatékonyan találták osztás és átlagolás segítségével. Mindig a pozitív gyököt használták, mert ennek volt értelme “valós” problémák megoldásakor. Az ilyen típusú feladatok közé tartozott egy téglalap méretének megtalálása, ha adott a területe és az az összeg, amellyel a hossza meghaladja a szélességét.
Táblázatokat használtak az n3 + n2 értékekből egyes kockaegyenletek megoldására. Vegyük például az egyenletet:
a x 3 + b x 2 = c . {\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}
Az egyenlet a2-vel való szorzása és b3-mal való osztása adja:
( a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 . {\displaystyle \left({\frac {ax}{b}}}\right)^{3}+\left({\frac {\frac {ax}{b}}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}.}
Helyettesítve y = ax/b ad:
y 3 + y 2 = c a 2 b 3 {\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}
amit most úgy lehetne megoldani, hogy az n3 + n2 táblázatban megnézzük a jobb oldalhoz legközelebbi értéket. A babilóniaiak ezt algebrai jelölés nélkül végezték el, ami figyelemre méltó mélységű megértésről tanúskodik. Az általános kockaegyenlet megoldására azonban nem rendelkeztek módszerrel.
NövekedésSzerkesztés
A babilóniaiak modellezték az exponenciális növekedést, a korlátozott növekedést (a szigmoid függvények egy formáján keresztül) és a megduplázódási időt, ez utóbbit a hitelkamatokkal összefüggésben.
A Kr. e. 2000 körülről származó agyagtáblákon a következő feladat szerepel: “Adott egy havi 1/60-as kamatláb (nincs kamatozás), számítsd ki a megduplázódási időt”. Ez 12/60 = 20%-os éves kamatlábat eredményez, és így a megduplázódási idő 100% növekedés/20% növekedés évente = 5 év.
Plimpton 322Szerkesztés
A Plimpton 322 tábla a “Pitagorasz-hármasok”, azaz egész számok ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} listáját tartalmazza.
olyanok, hogy a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}}
.A hármasok túl sokak és túl nagyok ahhoz, hogy nyers erővel kaptuk volna meg őket.
Sokat írtak már a témáról, beleértve némi (talán anakronisztikus) spekulációt arról, hogy a tábla szolgálhatott-e korai trigonometriai táblázatként. Vigyázni kell, hogy a táblát az akkori írástudók számára ismert vagy hozzáférhető módszerek szempontjából lássuk.”
A “hogyan számították ki a táblát?” kérdésre nem kell ugyanazt a választ adni, mint a “milyen problémákat állít a tábla” kérdésre. Az elsőre a legmegfelelőbben a reciprok párokkal lehet válaszolni, ahogy azt fél évszázaddal ezelőtt először javasolták, a másodikra pedig valamilyen derékszögű háromszögproblémával.
(E. Robson, “Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322”, Historia Math. 28 (3), 202. o.).
GeometriaSzerkesztés
A babiloniak ismerték a térfogatok és területek mérésének általános szabályait. Egy kör kerületét az átmérő háromszorosaként, a területet pedig a kerület négyzetének tizenketted részeként mérték, ami helyes lenne, ha a π-t 3-ra becsülnénk. Tisztában voltak azzal, hogy ez csak közelítés, és egy 1936-ban Szúza közelében feltárt óbabiloni matematikai tábla (amelyet a Kr. e. 19. és 17. század közé datáltak) a π jobb közelítését 25/8 = 3-ban adja meg.A henger térfogatát az alap és a magasság szorzataként vették, azonban egy kúp vagy négyzet alakú piramis törzsének térfogatát helytelenül a magasság és az alap összegének felének szorzataként vették. A Pitagorasz-tételt a babilóniaiak is ismerték.
A “babilóniai mérföld” egy olyan távolságmérő volt, amely körülbelül 11,3 km-nek (vagy körülbelül hét modern mérföldnek) felelt meg.Ezt a távolságmérést végül “időmérfölddé” alakították át, amelyet a Nap útjának mérésére használtak, tehát az időt jelképezte.
Az ókori babilóniaiak már évszázadok óta ismerték a hasonló háromszögek oldalainak arányaira vonatkozó tételeket, de nem ismerték a szögmérték fogalmát, ezért inkább a háromszögek oldalait tanulmányozták.
A babiloni csillagászok részletes feljegyzéseket vezettek a csillagok fel- és lenyugvásáról, a bolygók mozgásáról, valamint a nap- és holdfogyatkozásokról, amelyek mindegyike megkövetelte az éggömbön mért szögtávolságok ismeretét.
A Fourier-analízis egy formáját is használták az efemeriszek (csillagászati helyzeteket tartalmazó táblázatok) kiszámításához, amelyet Otto Neugebauer fedezett fel az 1950-es években. Az égitestek mozgásának kiszámításához a babilóniaiak alapvető aritmetikát és az ekliptikán – az égbolt azon részén, amelyen a Nap és a bolygók áthaladnak – alapuló koordinátarendszert használtak.
A British Museumban őrzött táblázatok bizonyítják, hogy a babilóniaiak még odáig is elmentek, hogy a tárgyaknak egy absztrakt matematikai térben lévő fogalmuk volt. A táblák Kr. e. 350 és Kr. e. 50 között készültek, ami azt mutatja, hogy a babilóniaiak még korábban megértették és használták a geometriát, mint korábban gondolták. A babilóniaiak egy olyan módszert alkalmaztak, amellyel egy görbe alatti területet úgy tudták megbecsülni, hogy alá egy trapézt rajzoltak, egy olyan technikát, amelyről korábban azt hitték, hogy a 14. századi Európából származik. Ez a becslési módszer lehetővé tette számukra például, hogy megállapítsák, mekkora távolságot tett meg a Jupiter egy bizonyos idő alatt.