Alai

A matematikai analízisben az egyenletes norma (vagy sup norma) az S halmazon definiált f valós vagy komplex értékű korlátos függvényekhez a nem-negatív számot

A négyzet kerülete az R2 azon pontjainak halmaza, ahol a sup norma egyenlő egy fix pozitív konstanssal.

‖ f ‖ ∞ = ‖ f ‖ ∞ , S = sup { | f ( x ) | : x ∈ S } . {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,\left|f(x)\right|:x\in S\,\right\}}.}

Ezt a normát szupremum normának, Chebyshev normának, végtelen normának vagy, ha a szupremum valójában a maximum, max normának is nevezik. Az “egyenletes norma” elnevezés onnan származik, hogy a függvények { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} konvergál f {\displaystyle f} az egyenletes normából származtatott metrika alatt, ha és csak akkor, ha f n {\displaystyle f_{n}} konvergál f {\displaystyle f} egyenletesen.

Az e norma által generált metrikát nevezzük Csebisev-metrikának, Pafnuty Csebisev után, aki elsőként tanulmányozta szisztematikusan.

Ha megengedjük a korlátlan függvényeket, akkor ez a képlet nem ad szigorú értelemben vett normát vagy metrikát, bár a kapott úgynevezett kiterjesztett metrika még mindig lehetővé teszi, hogy topológiát határozzunk meg a kérdéses függvénytéren.

Ha f folytonos függvény egy zárt intervallumon, vagy általánosabban egy kompakt halmazon, akkor korlátos, és a fenti definícióban szereplő szupremumot a Weierstrass-féle szélsőértéktétel alapján elérjük, így a szupremumot a maximummal helyettesíthetjük. Ebben az esetben a normát maximum normának is nevezzük. x = ( x 1 , … , x n ) vektor esetén {\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})} véges dimenziós koordinátatérben, ez a következő formát ölti

‖ x ‖ ∞ = max { | x 1 | , … , | x n | } . {\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max\{|x_{1}|,\dots ,|x_{n}|\}.}

A “∞” index azért van, mert amikor f folytonos

lim p → ∞ ‖ f ‖ p = ‖ f ‖ ∞ , {\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },}

hol

‖ f ‖ p = ( ∫ D | f | p d μ ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}\left|f\right|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}}

ahol D az f tartománya (és az integrál összegnek felel meg, ha D diszkrét halmaz).

A bináris függvény

d ( f , g ) = ‖ f – g ‖ ∞ {\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }}}

ekkor egy adott tartományon az összes korlátos függvény (és nyilván annak bármely részhalmaza) terének metrikája. Egy { fn : n = 1, 2, 3, … } egyenletesen konvergál egy f függvényhez, ha és csak akkor, ha

lim n → ∞ ‖ f n – f ‖ ∞ = 0. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0.\,}

Ezzel a metrikus topológiával kapcsolatban definiálhatunk zárt halmazokat és halmazok zártságait; az egyenletes normában zárt halmazokat néha egyenletesen zártnak, a zártságokat pedig egyenletes zártságoknak nevezzük. Egy A függvényhalmaz egyenletes zártsága az A-n egyenletesen konvertálódó függvények sorozatával közelíthető függvények terét jelenti. Például a Stone-Weierstrass-tétel egyik újrafogalmazása az, hogy az összes folytonos függvény halmaza a {\displaystyle } a {\displaystyle} polinomok halmazának egyenletes zártsága. .

Komplex folytonos függvények esetén egy kompakt tér felett ez C*-algebrává alakítja azt.