Alai

Mi a matematika? Egy kis ízelítő a történelemből A matematika mint diszciplína A matematika szépsége Problémamegoldás záró megjegyzések Mi a matematika? A matematika egy régi, széleskörű és mély tudományág (tudományterület). A matematikaoktatás fejlesztésén dolgozóknak meg kell érteniük, hogy “Mi is az a matematika?”

Egy kis ízelítő a történelemből

A matematikát mint a tanítás és tanulás hivatalos területét körülbelül 5000 évvel ezelőtt a sumérok fejlesztették ki. Ezt az olvasás és írás kifejlesztésével egy időben tették. A matematika gyökerei azonban sokkal régebbre nyúlnak vissza, mint 5000 év.

Az emberek történelmük során mindvégig szembesültek azzal az igénnyel, hogy mérni és kommunikálni kell az idővel, a mennyiséggel és a távolsággal kapcsolatban. Az Ishango-csont (lásd ahttp://www.math.buffalo.edu/mad/
Ancient-Africa/ishango.html és http://www.naturalsciences.be/expo/ishango/
en/ishango/riddle.html) egy körülbelül 20 000 éves csonteszköz nyele.

Az alábbi képen látható sumér agyagpénzek, amelyek használata körülbelül 11 000 évvel ezelőtt kezdődött (lásd http://www.sumerian.org/tokens.htm). Az ilyen agyagcédulák az olvasás, az írás és a matematika előzményei voltak.

Az olvasás, az írás és a formális matematika fejlődése 5000 évvel ezelőtt lehetővé tette a matematikai tudás kodifikálását, a matematika formális oktatását, és megkezdődött a matematikai tudás folyamatos felhalmozása.

A matematika mint diszciplína

Egy diszciplínát (szervezett, formális tudományterületet), mint amilyen a matematika is, általában az határozza meg, hogy milyen típusú problémákkal foglalkozik, milyen módszereket használ e problémák megoldására, és milyen eredményeket ért el. Ennek az információhalmaznak a rendszerezésének egyik módja, hogy a következő három kategóriába soroljuk (természetesen ezek átfedik egymást):

1. A matematika mint emberi törekvés. Vegyük például az idő mérésének matematikáját, mint például az évek, évszakok, hónapok, hetek, napok és így tovább. Vagy gondoljunk a távolság mérésére, és a távolságmérés különböző rendszereire, amelyek világszerte kialakultak. Vagy gondoljunk a matematikára a művészetben, a táncban és a zenében. A matematika és a matematikai felhasználások emberi fejlődésének gazdag története van modern társadalmunkban.
2. A matematika mint tudományág. Ön sok tudományos diszciplínát ismer, például a régészetet, a biológiát, a kémiát, a közgazdaságtant, a történelmet, a pszichológiát, a szociológiát és így tovább. A matematika egy széles és mély diszciplína, amely folyamatosan növekszik szélességében és mélységében. Napjainkban a matematikából készült doktori kutatási disszertáció jellemzően szűken a matematika egy szűk részterületének egyetlen problémájához kapcsolódó definíciókra, tételekre és bizonyításokra összpontosít.
3. A matematika mint interdiszciplináris nyelv és eszköz. Az olvasáshoz és az íráshoz hasonlóan a matematika is fontos összetevője a tanulásnak és a “csinálásnak” (a tudás felhasználásának) minden egyes tudományos diszciplínában. A matematika olyan hasznos nyelv és eszköz, hogy formális oktatási rendszerünkben az egyik “alapnak” számít.

A diákok és sok tanáruk nagymértékben hajlamosak a matematikát úgy definiálni, hogy mit tanulnak a matematika kurzusokon, és ezek a kurzusok általában a 3-as számra összpontosítanak. Az oktatás és az értékelés középpontjában általában az alapkészségek és az ezen alapkészségeket használó, viszonylag egyszerű problémák megoldása áll. Amint a fent megadott háromkomponensű vita is jelzi, ez csak egy része a matematikának.

Még a harmadik komponensen belül sem egyértelmű, hogy mit kell hangsúlyozni a tantervben, az oktatásban és az értékelésben. Az alapkészségek kontra magasabb rendű készségek kérdése különösen fontos a matematikaoktatásban. Mennyi időt kell a matematikaoktatásban arra fordítani, hogy a tanulók magas szintű pontosságot és automatizmust érjenek el az alapvető számítási és eljárási készségek terén? Mennyi időt kell fordítani a magasabb rendű készségekre, például a problémafelvetésre, a problémák ábrázolására, az összetett problémák megoldására, valamint a matematikai ismeretek és készségek átvitelére a nem matematikai tudományágak problémáira?

A matematika szépsége

Viszonylag kevés K-12-es tanár tanul elég matematikát ahhoz, hogy megértse és értékelje a tudományág szélességét, mélységét, összetettségét és szépségét. A matematikusok gyakran beszélnek egy-egy bizonyítás vagy matematikai eredmény szépségéről. Emlékszik arra, hogy a K-12-es matematikatanárai valaha is a matematika szépségéről beszéltek volna?

G. H. Hardy a 20. század első felében a világ egyik vezető matematikusa volt. Az “Egy matematikus bocsánatkérése” című könyvében hosszasan kifejti a tiszta és az alkalmazott matematika közötti különbségeket. Két példát tárgyal a (szép) tiszta matematikai problémákra. Ezek olyan problémák, amelyeket néhány középiskolás és gimnazista jól meg tudna oldani, de egészen mások, mint a jelenlegi K-12-es tantervünkben tárgyalt matematikatípusok. Mindkét problémát több mint 2000 évvel ezelőtt oldották meg, és reprezentatívak a matematikusok tevékenységére nézve.

1. A racionális szám olyan szám, amely két egész szám törtrészeként fejezhető ki. Bizonyítsd be, hogy a 2 négyzetgyöke nem racionális szám. Megjegyezzük, hogy a 2 négyzetgyöke természetes módon keletkezik a földmérési és ácsmunkák során.
2. A prímszám olyan 1-nél nagyobb pozitív egész szám, amelynek egyetlen pozitív egész osztója önmaga és 1. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok prímszám van. Az utóbbi években a nagyon nagy prímszámok igen hasznosnak bizonyultak az elektronikus üzenetek titkosításában.

Problémamegoldás

A következő ábra segítségével megbeszélhetjük az alkalmazott matematikai problémák ábrázolását és megoldását K-12 szinten. Ez a diagram különösen hasznos a jelenlegi K-12-es matematika tanterv megvitatásakor.

Az ábrázolt hat lépés: 1) Problémafelvetés; 2) Matematikai modellezés; 3) Számítási vagy algoritmikus eljárás alkalmazása egy számítási vagy algoritmikus matematikai probléma megoldására; 4) Matematikai “feloldás”; 5) Gondolkodás az eredményekről annak megállapítására, hogy a világosan meghatározott probléma megoldódott-e; és 6) Gondolkodás arról, hogy az eredeti problémahelyzetet megoldottuk-e. Az 5. és 6. lépés magában foglalja az olyan kapcsolódó problémákon és problémahelyzeteken való gondolkodást is, amelyekkel esetleg foglalkozni szeretnénk, vagy amelyek az eredeti Tisztán meghatározott probléma megoldásának folyamata vagy az eredeti problémahelyzet megoldására tett kísérlet során keletkeztek. Kattintson ide a problémamegoldásról szóló további információkért.

záró megjegyzések

Az alábbi négy nagyon fontos pont derül ki a 3. ábrán látható diagram és az ebben a fejezetben bemutatott korábbi anyagok megfontolásából:

1. A matematika minden tudományágban segítséget nyújt a problémahelyzetek ábrázolásához és megoldási kísérletekhez. Ez egy interdiszciplináris eszköz és nyelv.
2. A számítógépek és számológépek rendkívül gyorsak, pontosak és alkalmasak a 3. lépés elvégzésére.
3. A jelenlegi K-12-es matematikai tantervünk az ideje nagy részét azzal tölti, hogy a tanulókat a 3. lépés elvégzésére tanítja az évszázadok óta használt szellemi és fizikai eszközök (például ceruza és papír) használatával. Ezt úgy is felfoghatjuk, mintha arra tanítanánk a tanulókat, hogy versenyezzenek a gépekkel, ahelyett, hogy a gépekkel dolgoznának.
4. A jelenlegi matematikaoktatási rendszerünk a preK-12 szinteken kiegyensúlyozatlan az alacsonyabb rendű ismeretek és készségek (az ábrán túl nagy hangsúlyt fektetve a 3. lépésre) és a magasabb rendű ismeretek és készségek (az összes többi lépés az ábrán) között. Gyenge a matematikában mint emberi törekvésben és mint tudományágban.

Három erőteljes változtatási tényező van, amelyek végül megkönnyítik és kikényszerítik a matematikaoktatási rendszerünk jelentős változásait.

• Az agytudomány, amelyet nagyban segítenek az agyszkennelő berendezések és az agyi tevékenységek számítógépes feltérképezése és modellezése, jelentősen hozzájárul ahhoz, hogy megértsük, hogyan tanul az agy matematikát, és hogyan használja a matematikai tudást és készségeket.
• A számítástechnika és az informatika hatékony segítséget nyújt számos különböző kutatási területhez (például az agytudományhoz), a matematika tanításához (például a nagymértékben interaktív, intelligens, számítógéppel segített tanulás alkalmazásával, esetleg az interneten keresztül), a matematika tartalmához (például a számítási matematika), valamint a matematika “eljárásainak” ábrázolásához és automatizálásához.
• A matematikai ismeretek összességének és alkalmazásainak folyamatos növekedése a problémák reprezentálására és megoldásának segítésére minden tudományos diszciplínában.

Top of Page

Top of Page