Alai

A matematikában egy koordináta-vektortér standard bázisa (más néven természetes bázisa) azon vektorok halmaza, amelyek koordinátái mind nulla, kivéve egyet, amely egyenlő 1-gyel. Például az (x, y) valós számpárok által alkotott euklideszi sík esetében a standard bázist a vektorok

e x = ( 1 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 ) alkotják. {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}

Minden a vektor három dimenzióban az i, j és k standard alapvektorok lineáris kombinációja.

Hasonlóképpen, a háromdimenziós tér standard bázisát a vektorok

e x = ( 1 , 0 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 , 0 ) , e z = ( 0 , 0 , 1 ) alkotják. {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}

Itt az ex vektor az x irányba mutat, az ey vektor az y irányba, az ez vektor pedig a z irányba. A szabványos bázisú vektorokra többféle általános jelölés létezik, például {ex, ey, ez}, {e1, e2, e3}, {i, j, k} és {x, y, z}. Ezeket a vektorokat néha kalappal írják, hogy hangsúlyozzák, hogy egységvektorok (standard egységvektorok).

Ezek a vektorok abban az értelemben bázisnak számítanak, hogy bármely más vektor egyértelműen kifejezhető ezek lineáris kombinációjaként. Például minden vektor a háromdimenziós térben egyértelműen felírható

v x e x + v y e y + v z e z , {\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}

a skalárok vx, vy, vz a v vektor skalárkomponensei.

Az n-dimenziós euklideszi térben R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}} , a standard bázis n különböző vektorból

{ e i : 1 ≤ i ≤ n } áll. , {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}

ahol ei azt a vektort jelöli, amelynek az i-edik koordinátájában 1, máshol 0 van.

A standard bázisok más vektorterekre is definiálhatók, amelyek definíciója együtthatókkal jár, például polinomok és mátrixok esetében. Mindkét esetben a standard bázis a tér olyan elemeiből áll, amelyeknek egy kivételével minden együtthatója 0, a nem nulla pedig 1. Polinomok esetén a standard bázis tehát a monomokból áll, és általában monomiális bázisnak nevezik. M m × n mátrixok esetén {\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}} a standard bázist azok az m×n-mátrixok alkotják, amelyeknek pontosan egy nullától különböző bejegyzése van, ami 1. Például a 2×2 mátrixok standard bázisát a 4 mátrix

e 11 = ( 1 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 1 0 0 ) , e 21 = ( 0 0 0 1 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 0 1 ) alkotja. {\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0\\\\0&1\end{pmatrix}}.}