バビロニアの数学を記した粘土板の多くは古バビロニアに属するので、メソポタミアの数学は一般にバビロニアの数学として知られている。 粘土板には数学的なリストや表が含まれているものもあれば、問題や作業解が含まれているものもあります。
算術編
バビロニア人は算術を助けるためにあらかじめ計算された表を使っていた。 たとえば、1854年にユーフラテス川沿いのセンケラで発見された紀元前2000年の2枚の石版には、59までの数の二乗と32までの数の三乗のリストが記されている。 バビロニア人はこの正方形のリストと以下の公式を用いていた：
a b = ( a + b ) 2 – a 2 – b 2 2 {}displaystyle ab={frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}}
a b = ( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 4 {thefrac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}}
ab={thefrac {(b)^{1}-b^{1}}}{2}}{2
乗算を簡単にする。
バビロニア人は長割のアルゴリズムを持っていない。
a b = a × 1 b {displaystyle { {frac {a}{b}}=atimes {frac {1}{b}}}} という事実に基づいていた。
together with the table of reciprocals. 素因数が2、3、5だけの数(5-スムース数または正則数として知られている)は性数記法で有限の逆数を持ち、これらの逆数の大規模なリストを含む表が見つかっている。
1/7、1/11、1/13などの逆数は性数記法では有限の表現を持っていない。 1/13を計算したり、13で数を割ったりするために、バビロニア人は次のような近似値を使用しました：
1 13 = 7 91 = 7 × 1 91 ≒ 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600 . 表示スタイル {{frac {1}{13}}={frac {7}{91}}=7times {{frac {1}{91}}approx 7times {{frac {1}{90}}=7times {{frac {40}{3600}}={frac {280}{3600}}={frac {4}{60}}+{frac {40}{3600}}.} } ｛表示回数{{frac{{13}{91}{71}{71}{72}{72}{72}{72}=7回{{frac {1}{90}{72}}｝｝｝は1回です。
AlgebraEdit
バビロニアの粘土板 YBC 7289 (BC1800-1600 年頃) には、√2 の近似値が 1;24,51,10 という4つの性数列で示されており、これは小数点以下6桁程度まで正確で、√2 の3位性数表現としては最も近いものです：
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 = 1.41421 296 ¯ . {1+{prac {24}{60}}+{prac {51}{60^{2}}+{prac {10}{60^{3}}}={prac {30547}{21600}}=1.41421{overline {296}}.} ←クリックで表示。｝
算術計算と同時にバビロニア数学者は方程式を解くための代数手法も発展させてきました。 4676>
二次方程式を解くために、バビロニア人は基本的に標準的な二次方程式を使用した。 彼らは次のような形の二次方程式を考えた：
x 2 + b x = c {{displaystyle \ x^{2}+bx=c}}.
ここでbとcは必ずしも整数ではないが、cは常に正数である。 彼らはこの形式の方程式の解が:
x = – b 2 + ( b 2 ) 2 + c {displaystyle x=-{cfrac {b}{2}}+{sqrt {left({cfrac {b}{2}}right)^{2}+c}}} であることを知っていた。
分割と平均化で効率よく平方根を求めていました。 彼らは常に正根を使用した。これは「現実の」問題を解くときに理にかなっていたからである。 この種の問題には、面積と長さが幅を超える量から長方形の寸法を求めることが含まれます。
n3 + n2 の値の表は、特定の三次方程式を解くのに使用されました。 たとえば、次のような方程式を考えてみましょう：
a x 3 + b x 2 = c . {displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}.
この式にa2を掛けてb3で割ると:
( a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 . {displaystyle \left({}frac {ax}{b}}right)^{3}+{}left({}frac {ax}{b}}right)^{2}={frac {ca^{2}}{b^{3}}.} } となります。
y = ax/bを代入すると：
y 3 + y 2 = c a 2 b 3 {displaystyle y^{3}+y^{2}={Cha^{2}{b^{3}}} となります。
これをn3 + n2の表から右辺に近い値を求めればよいのである。 バビロニア人はこれを代数的表記法なしに達成し、驚くべき理解の深さを示している。
成長編
バビロニア人は指数関数的成長、（シグモイド関数の形式による）制約成長、倍加時間をモデル化し、後者はローンの利息という文脈で行われた。 これは年利12/60=20%となり、したがって倍加時間は年100%成長/20%成長=5年となる。
Plimpton 322Edit
Plimpton 322の石版には「ピタゴラスの三角形」、すなわち整数( a , b , c ) {displaystyle (a,b,c)} のリストが含まれている。
such that a 2 + b 2 = c 2 {displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}}.
.この三つ組は多すぎるし大きすぎるので、ブルートフォースで得たものである。
この問題については、この石版が初期の三角法表として機能したかどうかについての推測（おそらく時代錯誤）を含め、多くのことが書かれています。
「この石版はどのように計算されたのか」という問いは、「この石版はどんな問題を設定しているのか」という問いと同じ答えである必要はないでしょう。 前者は半世紀前に初めて提案されたように逆数対で最も満足のいく答えが得られ、後者はある種の直角三角形の問題で答えられる。
（E. Robson, “Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322”, Historia Math. 28 (3), p. 202).
GeometryEdit
Babylonians knew the common rules for measuring volume and areas. 彼らは円の円周を直径の3倍、面積を円周の12分の1と測ったが、これはπを3と推定すれば正しい。彼らはこれが近似値であることを認識しており、1936年にスーザ付近で出土した古バビロニアの数学タブレット（紀元前19世紀から17世紀の間）では、πを25/8=3としてよりよく近似している。円柱の体積は底辺と高さの積とされるが、円錐や四角錐の錐体の体積は高さと底辺の和の半分の積とされるのが誤りであった。 バビロニアではピタゴラスの定理が知られていた。
「バビロニア・マイル」は約11.3km（現代の約7マイル）に相当する距離の尺度であったが、この距離の測定はやがて太陽の運行を測る「タイムマイル」に変換され、時間を表すことになった。
古代バビロニア人は、何世紀も前から相似な三角形の辺の比に関する定理を知っていたが、角度の測定という概念がなかったため、代わりに三角形の辺を研究していたのである。
バビロニアの天文学者は、星の出入り、惑星の動き、日食や月食などを詳細に記録していましたが、これらはすべて、天球上で測った角距離を熟知している必要があったのです。 天体の動きを計算するために、バビロニア人は基本的な算術と、黄道（太陽や惑星が通過する天の一部）に基づく座標系を使用しました。
大英博物館に保管されているタブレットは、バビロニア人が、抽象的数学空間の中の物体という概念まで持っていた証拠となるものです。 このタブレットは紀元前350年から50年のもので、バビロニア人がこれまで考えられていたよりもさらに早くから幾何学を理解し、使用していたことが明らかになりました。 バビロニア人は、これまで14世紀のヨーロッパで生まれたと考えられていた、曲線の下に台形を描いてその面積を推定する方法を用いていた。 この方法によって、たとえば、木星がある時間内に移動した距離を求めることができたのである
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