三角行列に近い行列を三角化可能という。 抽象的には、これはフラグを安定化することと等価であり、上三角行列はまさに標準フラグを保存するもので、標準順序基底( e 1 , … , e n ) {displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})} によって与えられます。
となり、得られるフラグ 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 ,e 2 ⟩ < ⋯ e 1 ,・・・ , e n ⟩= K n …となる。 < Leftlangle e_{1} <leftlangle e_{1},e_{2} ³rightrangle <cdots <leftlangle e_{1},\ldots ,e_{n} ³rightrangle =K^{n}.} < Leftlangle e_{1},e_{2} ³lightrangle ³lightrangle ³{4364> ³rightrangle ³rightrangle <Leady {4364>Line {4364>Leady {4364>Leady {4364>Leady {4364>Line ³right rangle
すべての旗は共役なので(一般線形群が基底上で推移的に作用するため)、旗を安定化する行列は標準旗を安定化する行列と同様である。
任意の複素正方行列は三角化可能である。 実際、Aのすべての固有値を含む場上の行列A（例えば、代数的に閉じた場上の任意の行列）は、三角行列に類似している。 これは、Aが固有ベクトルを持つという事実に対する帰納法を用いて、固有ベクトルによる商空間を取り、Aがフラグを安定化し、したがってそのフラグの基底に関して三角化可能であることを示すことによって証明できる。 しかし、より単純な三角化の結果で十分であることが多く、いかなる場合でもヨルダン正規形定理の証明に使用される。
複素行列の場合、三角化についてより詳しく述べることが可能であり、すなわち、任意の正方行列Aはシューア分解を持つということである。 これはAが上三角行列と単位等価（すなわち基底の変更としてユニタリー行列を用いた類似）であることを意味する。これはフラグに対してエルミート基底をとることによって得られる。
同時三角化可能編集
A set of matrices A 1 , … , A k { {displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}} 。
がすべて上三角になる基底があれば、同時に三角化可能であるといい、同等に、それらが単一の類似行列Pによって上三角化可能であれば、上三角化可能という。 このような行列の集合は、それが生成する行列の代数、すなわちA i 、{displaystyle A_{i},}
のすべての多項式をKとすると、より簡単に理解することができる。 {displaystyle K.} とする。
同時三角化可能とは、この代数が上三角行列のリー部分代数に共役であることを意味し、この代数はボレル部分代数のリー部分代数であることと等価である。
基本的な結果は、（代数的に閉じた場において）交番行列A , B {displaystyle A,B} のうち、交番行列が
またはより一般的には A 1 , … , A k {displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}}} 。
は同時に三角化可能である。 これは、まず交番行列が共通の固有ベクトルを持つことを示し、次に先ほどと同様に次元を帰納することで証明できる。 このことは、1878年からフロベニウスによって、 通電するペアについて証明されており、 通電する行列のところで説明しました。 単一の行列については、複素数の場合、これらはユニタリー行列によって三角化することができます。
交番行列が共通の固有ベクトルを持つことは、ヒルベルトのNullstellensatzの結果と解釈できる。 commuting matrices form a commutative algebra K {displaystyle K}
over K {displaystyle K}
which can be interpreted as a variety in k-dimensional affine space.これは、k次元のアフィン空間の多様性として解釈できる。 そして、（共通の）固有値（ひいては共通の固有ベクトル）が存在することは、この多様体が点を持つ（空でない）ことに対応し、これは（弱い）ヌルステレンサッツの内容である。 代数学的に言えば、これらの演算子はk変数の多項式代数の代数表現に相当する。
これを一般化したのがLieの定理で、可解リー代数の任意の表現が同時に上三角化可能であることを示し、通約行列の場合はアベル型リー代数の場合で、アベル型は必然的に可解である。
より一般的かつ正確には、行列の集合A 1 , … , A k {displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}} が
is simultaneously triangularisable if and only if the matrix p ( A 1 , … , A k ) {displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})} {656558>
is simultaneously triangularisable if and only if the same than one
is nilpotent for all polynomials p in k non-commuting variables, where {displaystyle}, {6476}
共役は消失するので、これが成立する。 これは(Drazin, Dungey & Gruenberg 1951)で証明されている。簡単な証明は(Prasolov 1994, pp.178-179)で行われている。 一つの方向性は明らかで、もし行列が同時に三角形化可能であれば、{displaystyle}は
は厳密に上三角化可能であり（したがってニルポテン）、これは任意の A k {displaystyle A_{k}} による乗算によって保存されます。
またはそれらの組み合わせで、三角化基底の対角線上に0があるままとなります。