人類の生存時間に関するデータは、生存者バイアスがかかっている可能性があります。 初期のホモ・サピエンスが科学的観察に必要な知的機械の発達に長い期間を必要とするならば、そのような観察には、絶滅率にかかわらず、短い進化史が含まれない可能性がある。 したがって、長い生存の実績から得られる情報量は、この観察選択効果により制限されることになる。 このような実績は、絶滅率が低いことを示すかもしれないし、幸運な祖先が高い絶滅率で十分長く生き残り、科学的観測が可能な子孫を残したという副産物かもしれないのである。 したがって、我々が推定した絶滅率の境界は低すぎるという反論があるかもしれない12,23。 508＞＜1170＞潜在的なサンプルバイアスを定量化するモデル＜7312＞＜5661＞観測選択バイアスをモデル化するために、ホモ・サピエンスが最初に発生した後、別のステップに到達しなければならないと仮定してみよう。 これは言語，文字，科学，あるいは初期人類を観察が可能な基準クラス（我々はこのステップを「観察者性」と呼ぶ）に移行させるような関連要因の起源を表すことができる。 このステップを累積分布関数FS(t)を持つ確率変数Sとする。 我々は自然のリスクを調べているので、SとTは独立であると仮定する。 人類が（知性、言語、文字、科学などによって）観察者としての地位に到達するのに十分な期間生存する確率は、次の積分で求めることができる。
ここで fT(t) = μe-μt, 時間tにおける絶滅確率である。 ここで、調整尤度関数(adjusted likelihood function)を評価する(｛｛Θmathcal L｝｝)。 }^{ast }(\mu |T > t)\), 人類が時刻tまで生存していることを前提に絶滅率μの尤度を取っていることを表し、T > Sのような観測者の存在を条件としている。この結果、修正尤度関数：
ここでc = P(T > S)は正規化定数である。 観察者性のステップについては、観察者性が時間とともに一定の割合で発生するモデル、時間とともに増加するモデル、複数のステップを持つモデル、観察者性が単に一定の時間を必要とするモデルの4つのバリエーションで評価した。
必要ならば、この観察者性の特性を、種が自身の生存のトラックレコードについて（例えば、化石年代測定によって）信頼できるデータを収集して分析する能力、とより明確に定義できるかもしれない。 観測選択効果を補正する場合、私たちは単に種がこの分析を行う能力を発達させたという事実に条件付けしているに過ぎないのです。 パラメータを推定する機械は、そのような推定を行う能力が問題のパラメータと相関している場合、観察者選択バイアスを考慮する必要がある」
Model 1: Single step, constant rate
最初のモデルは、観察者性が一定の発生率 θ を持っており、S が累積分布関数で指数関数的に分布すると仮定している。 FS(t) = 1 – e-θtである。 このモデルは、初期人類から観察者への移行が偶然に一段階だけ起こるという過程を記述している。 これは、階層的な言語が偶然の突然変異の副産物としてヒトに出現したという仮説を表すことができる24。 このモデルでは、観測者が絶滅前に到着する確率はP(T > S) = θ(θ + μ)-1 となる。 尤度関数は解析的に導出できる：
Model 2: single step, increasing rate
2番目のモデルも同様に、1つのステップが必要であるが、オブザーバフッドのレートが時間とともに増加すると仮定する。 このモデルは、人口規模または人口密度の増加を表す可能性があり、それによって文化的進化が促進され、このようなステップの確率が増加する可能性がある25。 これを累積分布関数 \({F}_{S}(t)=1-{e}^{-{(\theta t)}^{k}}) で表現し、k > 1 は時間と共に増加する率を表す（k = 1 の時はモデル 1 の指数と同じ）。 508>
モデル3：複数のステップ、一定のレート
我々の3番目のモデルは、観察者を得るために一連の中で起こる必要がある複数のステップがあることを仮定するものである。 これは、ツール、文化、または言語のより漸進的な発展を表すことができます。 各ステップは率θの指数関数的に分布すると仮定し、最後のk番目のステップのタイミングは累積分布関数：
なお、k=1の時はモデル1の指数と同じ分布になります。 508>
モデル4：固定時間要件
我々の最後のモデルは、観察者性に到達するのに一定の時間τがかかると仮定するものである。 これは偶然性を許さない極端なモデルですが、形質が徐々に決定論的に蓄積されていくことを表すことができます。 したがって、時間t以前に観察者になる確率はFS(t)=1であり、t > τのときに1をとり、それ以外は0となる特性関数である。 人類が時間τを過ぎても生存している確率は1 – FT(τ) = e-μτである。 μの尤度関数は次のようになる：
この尤度式も、指数関数のメモリーレス特性を利用して導出することができる。 ここで注目すべきは、固定時間モデルが増加率モデルと多段階モデルの両方の極限ケースであることである。 モデル2の極限をk → ∞とすると、τ＝θ-1の固定時間モデルになる。 同様に、モデル3はステップ数が増加し、各ステップの期待時間が減少すると固定時間モデルに収束する（極限において無限に多くのステップを持ち、それぞれのステップは無限に短い）
サンプルバイアスモデルの結果
人間の生存時間を200kyrとして、観測者が発生しうる様々な速度を広く設定して、絶滅率が10-8から10-2に至る可能性を評価した（Fig.2）。 まず、最初の3つのモデルについて注意すべきことは、観測者発生率が十分に速い場合、尤度関数は前節の不偏バージョンに収束することである。 これは極限をとることで確認できる。すべてのモデルにおいて、θ → ∞（固定時間モデルの場合はτ → 0）として、 \({ { {mathcal L}) }^{ast }(\mu |T > t)\to {e}^{-themeu t} paragraph). もし観察者化が早く起こると予想されるなら、200kyrの生存実績を額面通りに受け取って、観察者選択バイアスのない絶滅率を推定できる。
Models of observer selection bias. 表面プロットはμとθ（モデル2と3ではk=3）の組み合わせ、またはモデル4ではτの組み合わせに対する尤度を示している。 右上のプロットは、モデル1ではθ→0、モデル2と3では様々なk値に対して、尤度がどのようにシフトするかを示しています。 最初の3つのモデルでは、大きなθでは不偏のモデルが回復し、予想される観察者生存時間が人類の生存実績に近づくと、結果は偏り始める。 しかし、θ → 0としても偏りは限定的であり、10-4を超える確率はゼロのままである。 これは最後の固定時間モデル、あるいはkが十分に大きい場合のモデル2と3でのみ破られる。
しかし、観察者率が減少して、期待される観察者生活時間が200kyrに近い桁に近づくと、観察者選択の偏りが出て来る。 これまで生存の実績から除外されていた率が、観測者の必要性から高い尤度を持つようになるのである（図2）。 例えば、モデル1では、θ=2×10-4（観測者出現予想時期20kyrに対応）のとき、μ=6.9×10-5の相対尤度は2.3倍（10-6から2.3×10-6）に増加します。 10-6の尤度（最も保守的な上限値に相当）を得るためには、7.3×10-5に設定する必要があります（表2の編集した境界をすべて参照）。 しかし、興味深いことに、この効果は限定的である。 例えば、200億年を超えるような、200kyrを大きく超えるような時間まで観測率が低下しても、編集後の上限値は元の上限値のファクター2以内に収まっています。 例えば，10-6の尤度境界は，θ → 0の極限で約1.2倍しか変化しない。サンプルバイアスはあるだろうが，生存の実績が観測選択効果によってどの程度歪められるかは，難しい上限がある。
観察者化率の遅さが我々の推定値に限定的な影響を与える理由は、絶滅率が例外的に高かった場合、観察者化に成功した幸運な人間は、異常に早くその地位を獲得したことになり、したがってまだ生存の非常に短いトラックレコードを観察することになるためである。 したがって、生存の長い実績は、低い観察者資格率と高い絶滅率の組を除外するのに十分である。 このことは、高い絶滅率と低い観察者資格率を仮定して、幸運な生存者が観察者資格に達するまでにかかる典型的な時間を調べることによって証明できます。 例えば、θ=10-6（期待される観察者権獲得時間1Myrに相当）、μ=10-3（典型的な絶滅時間1000年に相当）の場合の一段階定率モデルでは、これらの高い絶滅率を条件とした期待される観察者権獲得時間は1000年である。 したがって、典型的な観察者は、まだ非常に短い生存の実績を持つことになる。 増加率や多段階のモデルも同じ性質を示すが、パラメータkによって偏りが大きくなる。 モデル2、3ともに、θ=10-6、μ=10-3、k=2（モデル2は830kyr、モデル3は2Myrの予想生存時間に相当するパラメータ）の場合、高い絶滅率でも、典型的な観測者は異常に早く出現し、約2000年しか生存の実績がないことがわかります。 これは図2でもわかるように，モデル1，2，3では，10-4を超える高い絶滅率の尤度は，θに関係なくまだ低い尤度に割り当てられています。
しかし，モデル2，3ではkが大きくなると厳しい観察者選択の偏りが生じ，早期観察者がほとんどなく，後期観察者がほぼ確実になるよう観察者性分布が形成されます。 最も極端なケースでは、これは固定時間モデルで表され、t = τのときに観察者性の確率が0から1にジャンプします（固定時間モデルはk → ∞のときの極限ケースでもあります）。 その固定時間が十分長い場合（例えば190年や195年を超える場合）、200年の生存実績は10-4より大きい絶滅率を除外するのに十分ではなくなります。 この結果は、固定時間モデルによって、オブザーバーフッドが異常に早く起こる可能性を一切排除しているために起こる。 つまり、τの生存時間でオブザーバーになることは、絶滅率に関する情報を全く伝えないということである。 事実上すべての生物学的・文化的プロセスにはある程度の偶発性があり、科学的観測能力を獲得することがこれと異なると考える根本的な理由はないのである。 例えば、絶滅率が10-4（平均して1万年に1回）で、観察者としての地位が200年かかるという世界を考えてみよう。 このモデルでは、人類がオブザーバーになるのに十分な期間生き残ることは、2億分の1の確率で起こりうることである。 観測の選択バイアスを考えると、観測に必要な希少事象の可能性は排除できない。 しかし、2億分の1の確率の出来事には、なぜ、現代人の観察者が異常に早く出現する可能性も含まれないのか、と問うことができる。 言語、文字、および現代科学が最初の現代人から 1 万年以内に発展する可能性はおそらく極めて低いが、その確率を 2 億分の 1 未満とするのは例外的に過信しているように思える。
同様の推論は、高い k による増加率および多段階モデルが妥当であるかどうかを判断するために適用することができる。 私たちの保守的な上限値であるμ.9×10-5の絶滅率で2億年の生存記録を期待するためにどのようなパラメータが必要かを尋ねることによってこれをテストする。 増加率モデルでは、θ = 10-7、k = 14で203kyr後に、多段階モデルでは、θ = 10-7、k = 16で190kyr後に観察者生存が期待される。 これらのモデルでは、早期に観測者になる確率はゼロではありませんが、それでも確率は非常に小さいです。 これらのパラメータを用いると、1万年以内に観察者権が発生する確率は1兆分の1以下（3.4×10-14）、10万年以内に発生する確率は1％程度であることがわかる。 多段でこのパラメーターの場合、observerhoodが1万年以内に発生する確率は1兆分の1以下（5.6×10-17）、10万年以内に発生する確率は0.02%以下である。 固定時間モデルと同様に、これらのモデルは晩期オブザーバーフッド時間に対して非現実的なレベルの信頼性を示していると思われる。
固定時間（またはほぼ固定時間）モデルの妥当性を直接検証するのは難しいが、現代人の行動の出現が地理的に大きく異なることは、その妥当性を検証できる一つのデータ源となる。 後期旧石器時代の移行は、ヨーロッパと西アジアで約45kyaに起こり、現代人の行動25（例えば、象徴的な芸術品、幾何学的な刃物、装飾品）が広く出現したことが特徴的である。 しかし、アフリカの一部では、もっと早い時期に現代人の行動が散発的に出現していたことを示す強力な証拠が存在する26,27。 後期旧石器時代への移行が迅速に行われなかった要因は数多くあるが、一部の人類社会が他の人類よりも100 kyr以上早くこの移行を行ったという事実は、はるかに早い発展軌道が全く問題外ではないことを示している。
要するに、初期の観察者の可能性を認める限り、観察者の選択効果によって生存記録に大きな偏りが生じることはないであろう。 初期観測者の確率が例外的に低ければ、生存のトラックレコードに欺瞞的な長さが生じる可能性があるが、このモデルはありえないものであると考えられる。 現代人の行動には大きなばらつきがあるため、このような偏った記録はあり得ないと思われる。 また、観測者の選択バイアスを検証するために、他の間接的なデータ源に目を向けることもできる
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