数学とは何か数学は古く、広く、深い学問（分野）である。 数学教育の改善に取り組む人は、「数学とは何か」を理解する必要があります。 |
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歴史の豆知識
教育や学習の公式分野としての数学は、約5000年前にシュメール人によって発展させられました。 彼らはこれを、読み書きを発展させるのと同時に行ったのです。 しかし、数学のルーツは5,000年よりもずっと前にさかのぼります。
その歴史を通じて、人類は時間、量、距離を測定し、コミュニケーションする必要性に直面してきました。 イシャンゴの骨 (http://www.math.buffalo.edu/mad/
Ancient-Africa/ishango.html および http://www.naturalsciences.be/expo/ishango/
en/ishango/riddle.html 参照) は、およそ 20,000 年前の骨の道具の柄です。
図 1
下の写真は、約 11,000 年前に使用が始まったシュメール粘土トークン（http://www.sumerian.org/tokens.htm 参照）である。
図2
5千年前に読み、書き、正式な数学が発達し、数学知識のコード化、数学の正式な指導が可能になり、数学知識の着実な蓄積が始まった。
学問としての数学
数学のような学問分野（組織された正式な研究分野）は、それが取り組む問題の種類、これらの問題に取り組むために用いる方法、および達成した結果によって定義される傾向がある。 この一連の情報を整理する1つの方法は、次の3つのカテゴリに分けることです（もちろん、これらは互いに重複しています）：
- 人間の努力としての数学。 たとえば、年、季節、月、週、日など、時間の計測の数学を考えてみよう。 あるいは、距離の測定や、世界中で発展したさまざまな距離測定のシステムを考えてみてください。 また、芸術、ダンス、音楽における数学について考えてみましょう。 現代社会における数学と数学的利用の人類発展の豊かな歴史がある。
- 学問としての数学 あなたは考古学、生物学、化学、経済学、歴史学、心理学、社会学など、たくさんの学問分野に親しんでいますね。 数学は広く深い学問であり、その幅は広がり続けています。 現在、数学の博士研究論文は、数学の狭いサブフィールドにおける単一の問題に関連する定義、定理、証明に焦点を絞ったものが一般的です。
- 学際的な言語およびツールとしての数学。 読み書きのように、数学はそれぞれの学問分野での学習と「行う」（自分の知識を使う）ための重要な要素である。
かなりの程度、生徒とその教師の多くは、数学のコースで何を学ぶかという観点から数学を定義する傾向があり、これらのコースは#3に焦点を当てがちである。 指導と評価の焦点は、基本的なスキルと、これらの基本的なスキルを使って比較的単純な問題を解くことに置かれる傾向がある。 7037>
第3の構成要素の中でも、カリキュラム、指導、および評価において何を重視すべきかは明確ではない。 基礎的な技能と高次の技能の問題は、数学教育において特に重要である。 数学教育の時間のうち、どの程度を基本的な計算・手続きスキルの高いレベルの正確さと自動性を獲得させることに費やすべきなのか。 7037>
Beauty in Mathematics
K-12 教師で、数学を十分に勉強し、その学問の広さ、深さ、複雑さ、美しさを理解し感謝できる人は比較的少数である。 数学者はしばしば、特定の証明や数学的結果の美しさについて話します。 K-12 クラスの数学の先生の中に、数学の美しさについて話したことのある人はいますか。
G. H. ハーディは 20 世紀前半の世界的な数学者の 1 人でした。 彼はその著書『数学者の弁明』の中で、純粋数学と応用数学の違いについて詳しく述べている。 彼は、（美しい）純粋数学の問題の2つの例について論じている。 これらの問題は、中学生や高校生でも解けるかもしれないが、現在の幼稚園から高校までのカリキュラムで扱われる数学の種類とは全く異なるものである。 これらの問題は両方とも 2000 年以上前に解決されたもので、数学者が行うことの代表的なものです。
- 有理数とは、2 つの整数の分数として表すことができるものである。 2の平方根が有理数でないことを証明せよ。 423>
- 素数とは、1より大きい正の整数で、その正の整数の約数が自分自身と1だけであるもので、素数は無限に存在することを証明せよ。 近年、非常に大きな素数は電子メッセージの暗号化に非常に有用であることが分かってきた。
問題解決
以下の図は、K-12レベルの応用数学問題の表現と解決について議論するために使用することができる。 この図は、現在のK-12数学カリキュラムの議論に特に有用です。
Figure 3
図示した6ステップは、1）問題提起、2）数学的モデル化、3）計算的またはアルゴリズム的数学問題を解くために計算またはアルゴリズム手順を使用、4）数学「非モデル」、5）明確に定義した問題が解決されているか結果を考える、および6）元の問題状況が解決されているか考える、です。 ステップ 5 とステップ 6 は、元の明確な問題を解決したり、元の問題状況を解決しようとする過程で生じる、関連する問題や問題状況について考えることにもなる。 問題解決についての詳細はこちら
Final Remarks
図3の図とこのセクションで紹介した以前の資料の考察から浮かび上がった、4つの非常に重要なポイントがあります：
- 数学はすべての分野で問題状況を表現し解決を試みるための補助手段である。 7891>
- コンピュータと電卓は、ステップ 3 を実行するのに非常に速く、正確で、有能です。
- 現在の K-12 学年の数学カリキュラムでは、何百年も使われてきた（鉛筆や紙などの）精神的および物理的な道具を使って、ステップ 3 を行うことを生徒に教えることにほとんどの時間を割いています。 7891>
- 幼稚園から高校までの現在の数学教育システムは、低次の知識と技能（図のステップ 3 を強調しすぎ）と高次の知識と技能（図の他のすべてのステップ）のバランスがとれていない。
- 脳科学は、脳のスキャン装置やコンピュータによる脳の活動のマッピングやモデリングによって大いに助けられ、脳がどのように数学を学び、数学的知識やスキルを使用するかについての我々の理解に大きく寄与している。
- コンピュータと情報テクノロジーは、さまざまな研究分野（脳科学など）、数学の教育（たとえば、インターネット経由で配信される高度にインタラクティブな知能コンピュータ支援学習など）、数学の内容（たとえば、計算数学）、数学を行う際の「手順」の表現と自動化などに強力な助力を提供しています。
- 数学的知識の全体と、すべての学問分野における問題を表現し解決するためのその応用が着実に成長していること
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