Alai

数学において、座標ベクトル空間の標準基底（自然基底ともいう）は、1が等しいものを除いてその座標値がすべて0であるベクトルの集合である。 例えば、実数の組 (x, y) で形成されるユークリッド平面の場合、標準基底は、

e x = ( 1 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 ) というベクトルによって形成されます。 {displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}. {p>

3次元のすべてのベクトルaは、標準基底ベクトルi、j、およびkの線形結合です。

同様に、3次元空間の標準基底は、ベクトル

e x = ( 1 , 0 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 , 0 ) , e z = ( 0 , 0 , 1 ) によって形成される。 {また、”e “は “z “を意味し、”e “は “z “を意味します。

ここでベクトルexはx方向、ベクトルeyはy方向、ベクトルezはz方向について示しています。 標準基底のベクトルには、{ex, ey, ez}、{e1, e2, e3}、{i, j, k}、{x, y, z}などの一般的な表記がある。 これらのベクトルは単位ベクトル（標準単位ベクトル）であることを強調するためにハットで書かれることもある

これらのベクトルは、他の任意のベクトルがこれらの線形結合として一意に表現できるという意味で基底となる。 例えば、3次元空間のすべてのベクトルvは

v x e x + v y e y + v z e z , {}displaystyle v_{x}, \mathbf {e} _{x}+v_{y}, \mathbf {e} _{y}+v_{z}, として一意に書くことができる。\v_{x},{mathbf {e}_{x}+v_{y},{mathbf {e}_{y}+v_{z},{mathbf {e}_{z},

the scalars vx, vy, vz are scalar components of the vector v。

n次元ユークリッド空間R nにおいて{displaystyle \mathbb {R} ^{n}}とする。 , 標準基底はn個の異なるベクトル

{ e i : 1 ≤ i ≤ n }から構成されます。 ここで、eiは第i座標に1、その他の座標に0を持つベクトルを表します。

標準基底は多項式や行列のような係数を伴う他のベクトル空間にも定義できる。 いずれの場合も、標準基底は、1つを除くすべての係数が0であり、0でないものが1であるような空間の要素で構成されます。多項式の場合、標準基底はこのように単項式で構成され、一般に単項式基底と呼ばれます。 行列Mの場合、m×n {displaystyle {{mathcal {M}}_{mtimes n}}} 。 , 標準基底はちょうど1つの非ゼロエントリーを持つm×n行列からなる。例えば、2×2行列の標準基底は

e 11 = ( 1 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 1 0 ) , e 21 = ( 0 0 1 0 ) , e 22 = ( 0 0 1 ) の4行列からなる。 {Ίταμμα για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για γιβήγήγήγήγήγήγήγήγήγης, αηταήγης,\quad \mathbf {e} _{21}={begin{pmatrix}0&0}1&0end{pmatrix}},\quad {e} _{22}={begin{pmatrix}0&0/0&1}end{pmatrix}}.}