Polyhedral models of icosahedral architecture
Virus structures are prominent example of icosahedral symmetry in biology.The VIRUS INTOは、生物学において、20面体対称の構造であることを示す。 その構造は現在、一連のゴールドベルグ多面体14（五角形と六角形の面を持つ3次元の立体）によりモデル化・分類されており、キャプシド蛋白質の位置の基準フレームとなっている（図1a）。 特に、多面体の面は、それぞれペンタマーとヘキサマーと呼ばれる五角形と六角形のタンパク質クラスターの位置を示している。 また、同じ多面体は、炭素化学におけるフラーレンケージ、特にバッキーボールと呼ばれるバックミンスター型フラーレンの原子位置の設計図にもなっている1。 また、人工および天然のさまざまなタンパク質ナノコンテナの構造構成も、この多面体によって設計されている。 3554>
ゴールドベルグ多面体は、六角形の格子（ラティス）から、オイラーの定理で求められるように、12個の六角形を五角形に置き換えることで構築される（図1b）。 隣接する5角形の頂点における5角形間の距離(D)は、この構成における唯一の自由度であり、したがって、この無限系列の多面体における異なる幾何学的選択肢を表示するために使用することが可能である。 \このため、この無限連の多面体におけるさまざまな幾何学的選択肢を示すのに使用される。 \(D) は、基本的な六角格子幾何学によって制約された特定の値しか取ることができない。 特に、格子内で隣り合う六角形の中点間を移動するために、任意の整数値またはゼロを取る六角形の座標( \(h), \(k)) を使用すると、以下の幾何学的制約11:
ここで、({A}_{0}) は任意の六角形の中点を結ぶ最小の三角形の面積、つまり、 \(h=1} と \(k=0}) – または同等に、 \(h=0} と \(k=1}) に相当します。 同様の式が細長いキャプシド構造でも導かれている17。
Tは、隣り合う五角形と六角形の中点を結んでできる二十面体の三角形分割、すなわち双対（測地）多面体で幾何的に解釈して三角化数と呼ぶ（図1c）。 Tは、20面体の三角形の面を面積でカバーする三角形の面（ファセットと呼ばれる）の数を示している。 このような三角形の面の各角にタンパク質サブユニットが結合することで、この無限の一連の三角形分割が準同型理論におけるキャプシドのレイアウトに変換される（Fig. 1d）。 このような設計図では、60T個のCPが12個の5量体、および(10(T-1))個の6量体に編成されたキャプシドレイアウトしか得られない11。 したがって、式1で表される条件は、CK幾何学において可能なTの値および可能なCP数に対する幾何学的な制限である。 この系列の初期要素は, \(T=T)1, 3, 4, 7であり, したがって, 小20面体キャプシドに含まれるCP数はそれぞれ60, 180, 240, 420である（補足表1）。
しかし、これは同じ（非対称）単位の繰り返しから正20面体構造を作ることができる一つの方法であり、異なるサイズのタンパク質（例えばメジャーとマイナーカプシドタンパク質）から作る幾何学や、一つまたはいくつかのドメインが際立った役割を果たすタンパク質から作るキャプシドは除外されている。 このようなキャプシドのレイアウトは、各頂点が突出した辺の長さ、数、相対角度において同一である格子から構築されなければならないが、同一頂点における異なる辺間の相対角度は、異なるタイプのタンパク質またはタンパク質ドメインによる占有を反映して変化し得る。 幾何学的な観点からは、この一般化された準同等性の原理を満たす格子は11個しかなく（Grünbaum and Shephardの第2章18）、これがアルキメデス格子（別名均一格子13,16）である。 これらの格子のうち、六角形の部分格子を含むのは4つだけである（図2a）。 そのうちの1つは、CK分類法のベースとなった六角形の格子そのものである。 この格子は、各頂点を囲む正多角形（この場合は3つの六角形）の種類によって、「Σ((6,6,6)Σ」とラベル付けされています。 しかし、六角形格子は、この構成を可能にする最も単純な格子に過ぎない。 六角形を適当な間隔で含む格子、つまり六角形の副格子も同様にCKの構成が可能であるが、これまで無視されてきた。 それらは、三六角タイリングⒶ（3,6,3,6）Ⓐ、スナブヘキサゴンタイリングⒷ（{3}^{4},6）Ⓕ、ロムビトリヘキサゴンタイリングⒹ（3,4,6,4）Ⓓです。 (図2a）。 これらの格子はそれぞれヘキサデルチル、スナブヘキシル、切り詰めたヘキサデルチル格子とも呼ばれる16。
アルキメデス格子からの正20面体の建築の設計。 a Caspar-Klug構造を可能にする4つのアルキメデス格子（上から順に、六角形のⒶ（6,6,6）Ⓐ、三六角形のⒶ（3,6,3,6）Ⓐ、窪み六角形のⒻ（{3}^{4},6）Ⓕ、六角形のⒻ（（3,4,6,4）Ⓖ）格子）は、その構造上、正二十面体建築を設計できる。 いずれも非対称単位（格子の繰り返し単位）が強調表示されている。 正20面体の構築に用いた六角形の副格子との重なりを赤で示した。 六角格子の場合とは別に、三角形の3分の1の面（青）、さらに2つの格子ではそれぞれ三角形と半正方形（ともに緑）が含まれている。 b Caspar-Klug 構造に類似した、12個の六角形を五角形に置き換えたアルキメデス立体の構成（図1bも参照） c bに示した例に対応する多面体形状。 d 最小の多面体形状（ \({T}_{t}), \({T}_{s}), \({T}_{r}) は、それぞれtrihexagonal, snub hexagonal, rhombitrihexagonal格子から得られる多面体を表す）を、Caspar-Clug多面体と比較してサイズ別に整理して示している。 表面積は式(1)に従って拡大する。 (2)に従って表面積が拡大するため、新しい解はCaspar-Klugシリーズの多面体間のサイズギャップに収まるか、あるいは同じサイズのキャプシドの代替レイアウトを提供し、例えば \(T(2,0)={T}_{t}(1,1)=4/3T(1,1)=4)
Caspar and Klugの構築と類似して、これらのティリングから12個の六角形を五角形に置き換えて構築できる20面体を分類する（Fig.3）。 2b). 近接する六角形を置き換えると、いずれの場合も二十面体対称のアルキメデス立体となり（図2c）、これは五角形の挿入をさらに間隔をあけて行うことで構築される無限系列の多面体の始まりに対応する。 このシリーズの異なる多面体構造を特徴づける手段として、六角形の挿入部の間の可能な距離を示すために、今度は六角形の副格子における六角形の中点間のステップを示す六角形の座標( \(h), \(k)) を再び使用します。 3つの追加格子では、隣接する六角形の中点が六角格子よりも遠方にある。 したがって、隣り合う六角形の中点を結ぶ三角形のファセットで覆われる面積（すなわち、 \(h=0) and \(k=1) or vice versa）は、CK構造よりも係数(｛alpha }_{t}=4/3｝approx 1.0)だけ大きくなる。33), \(({3}^{4},6)\) latticeでは \({3α }_{s}=7/3}approx 2.33}, \((3,4,6,3)\) latticeでは \({3α }_{r}=4/3+2/}sqrt{3}approx 2.49}, つまり、, を、非対称格子ユニットの相対的なサイズに対応する係数で割ったものです（図2aのカラーハイライトを参照）。 したがって、CK構造におけるT数は、新しい格子に対して次のように適宜スケーリングすることができる
where \(j=t,s.),は作図に用いた格子の種類を表し、それぞれ三角格子、スナッブ六角格子、ロムビトリ六角格子を意味する。 特に、｛T｝_{j}(h,k)Γと書かれた多面体は、｛T(h,k)Γ｝と同じ数の五角形と六角形を持っていることになります。 Caspar Klug格子では、6角形と5角形の間に多角形（三角形、四角形）が追加されているため、面が占める表面積は大きくなっています。 これは、図2に示されるように、構成する平面格子に応じた表面積の増加を意味するスケーリングファクター(scaling factor)Γ({Θα}_{Θ})で示される。
得られた形状（補足表2-4）により、正20面体のウイルス設計図の可能性は大きく広がった。 例えば、 \({T}_{t}(1,0)=4/3), \({T}_{s}(1,0)=7/3), \({T}_{r}(1,0)=(4/3+2/entasqrt{3})\) はthe \(T(1,0)=1} and \(T(1,1)=3) もし、六角形の（サブ）格子がカプシド表面上で同じフットプリント、つまり同じCPサイズを持つと仮定すると、カプシドサイズという点で、CKの設計図（図2d）になります。 さらに、これらのジオメトリーのいくつかは、同じサイズのCKジオメトリーに対する代替レイアウトを構成する。例えば、 \({T}_{t}(1,1)=4) と \({T}_{s}(1,1)=7) はそれぞれ \(T(2,0)=4) と \(T(2,1)=7) 構造である。 これらの場合、代替キャプシドモデルの相対表面積は同じであるが、ヘキサマーとペンタマーの数と方向が異なり、これらのキャプソマー間に間隙があることが予測される。 3554>
Non-quasi-equivalent architectures in the HK97 lineage
CK theoryの幾何学的設計図とは相容れないCP数およびキャプシドのレイアウトを持つキャプシド構造が増加していることが報告された。 メジャーカプシド蛋白質とマイナーカプシド蛋白質の組み合わせから形成されるキャプシドを持つウイルスは、古典的なCK理論では解釈が困難な例である。 ここではHK97系統の例を示し、このようなウイルスがここで提案するアルキメデス格子の枠組みで合理化できることを示す。
例えばバチルスファージのバシリスクには、メジャーカプシド蛋白質（MCP）とマイナーカプシド蛋白質（mCP）540個の組み合わせで、1080個のCPが存在する
から引用した図を重ねて赤（五角形）、青（六角形）、緑（三角形）で示した。バシリスク（図3a）はMCP折り方をHK97系統の他のバクテリオファージ、古生人や動物ウイルスと共有している12, 21,22. この系統の他のウイルスの構造を再評価すると、これらの進化的に関連したウイルスは、その根底にある正20面体の格子形状を共有していること、すなわち、, 例えば、単純ヘルペスウイルス1型（HSV-1）は、そのMCP（VP5）をバシリスクのキャプシドを思わせるような向きの6量体および5量体で組織化している（図3b）。 これらのカプセルの位置は、HSV-1の現在の分類である♪T(4,0)=16♪と合致している。 しかし、これはヘキサマーの相対的な配向を誤っており、3つのmCP（Tr1、Tr2a、Tr2b）から形成されるカプソマー間の三量体複合体の二次ネットワークを無視したものである23。 しかし、新しいフレームワークでの \({T}_{t}(4,0)=64/3) 構造としての分類（補足表2）は、その960個のMCPと960個のmCPの両方を正確に反映している。 HSV-1と構造的に類似しているヒトサイトメガロウイルス（HCMV）24（構造不詳）についても同様である。
ファージの成熟キャプシド（図3c）も三六面体構造を持つHK97系統のウイルスの一例であり、HSV-1と同様、HCMVの構造もHSV-1の構造的な特徴を反映している。 このファージは、現在、(T(2,1)=7)12と分類されているが、莢膜の向きは、(mCPsの追加ではなく、MCPsの突出ドメインが三角格子を占めるため、({T}_{t}) (2,1)=28/3} 構造のレイアウトを呈している。 これらの位置は、補強タンパク質gpD25の位置でもあり、表面格子におけるこれらの3量体の位置の重要性を強調している（図3c）。 また、HK97系に属するHalorubrum sodomense tailed virus 2 (HSTV-2)は \(T(2,1)=793) に分類されている。 しかし、そのカプシドにはgpDのような3量体が存在し、カプソマー間のインターステーショナルな位置を占めていることから、3角構造 (Pietilä et al.26の図8参照）。 このことは、カプシドの体積（ひいてはゲノムサイズ）が、古典的なカプシド(T(2,1)ゞ)に比べて1.54倍も増加したことを意味する。 この予測は、HSTV-2のゲノムが、 \(T=7) tailed phageよりも〜1.4〜1.7倍大きいという経験則と一致しており26、我々のフレームワークでは、”the \({T}_{t}(2,1)=28/3) capsid” と分類されていることがさらに確認された。 3554>
以上のことから、今回紹介したウイルス構造の分類法は、進化的に近縁なウイルスに共通する構造的特徴を強調し、ウイルス系統の特徴として適していることが示唆される。
化学量論が同一の代替キャプシドレイアウト
同じ数のCPから形成されるが、異なるCP位置とカプソマーを示す準同等なウイルスカプシドの例は多い。 CK理論ではこれらを区別していない。 3554>
CK理論では、三角格子(3, 3, 3)に対応する六角面格子とその双対が混在して使用されるが、このうち、Laves格子と呼ばれるArchimedean格子とその双対を、異なる \(T=3)geometry の例に基づいて、この問題に対処する手段を示す。 三角格子から得られる最小の正二十面体は、20個の三角形からなる正二十面体です。 次に大きいのは60個の三角形からなる正二十面体で、古典的な♪(T=3) 構造の青写真を提供している。 CK理論では、多面体の面は、タイルの回転対称性に対応した数のタンパク質群を表す必要がある（例えば、三角形は3つのタンパク質を表すなど）ため、キャプシドのレイアウトは多面体構造と関連付けることができる。 Pariacotoウイルス（PAV；図4a）は、三角形のユニットを形成する3本の鎖の間に強い相互作用があり、このタイプの \({T}^{D}(1,1)\) 表面構造の例である。
キャプシドのタンパク質インターフェースは20面体の形状によって制約される。 正20面体形状の分類は、同じ数のタンパク質から形成されるウイルスのキャプシドのレイアウトを区別する。 a Pariacoto virus (\({T}^{D}(1,1)\)); b MS2 (\({T}_{t}^{D}(1,1)\)) 三角とひし形のタイルの例を示している。 タイルはViPERデータベース（Pariacoto virus: PDB-id 1f8v64; MS2: PDB-id 2ms265）
他のアルキメデス格子のデュアル（三六角、ナブ六角、ロンビット三六角）はCK理論のタイルとは別の表面構造をそれぞれローム、フローレット、カイトの観点から示している（参照：Con.Con.Con.Con.）＜＜367＞＞＜367＞＜367＞＜368＞＜368＞＜368＞＜368＞＜368＞＜367＞＜368＞＜368＞＜368＞＜368＞＜368＞＜368＞＜368＞＜368＞＜368 補足表5）。 タイルの対称性はタイルで表されるタンパク質の数と相関していなければならないというCK理論を厳密に適用すると、dual trihexagonal lattices (\({T}_{t}^{D})) 、すなわち2つのタンパク質（CPダイマー）のクラスターを表すタイルを持つ菱形タイルに行き着く。 菱形格子では、CK表面格子に代わるレイアウトとして、同じタンパク質ストイキオメトリで異なるCP構造を持つキャプシドを記述することができる。 バクテリオファージMS2（図4b）は90個のCP二量体から構成されるウイルスで、 \(T=3) rhomb tiling ({T}_{t}^{D}(1,1)\; Supplementary Table 5) の一例である。 この場合のタンパク質ストイキオメトリはCKフレームワークと一致するため、 \(T=3) 構造で予想される180個のタンパク質に対応するが、 \({T}_{t}^{D}(1,1)\) 形状として識別することで、カプシド表面におけるCP位置とその相対配向をより正確に説明できることに注意されたい。
非準等価および高次のひし形ティリング
CK規則を拡張して、タイル上の位置がタイルの対称性を尊重する限り、ひし形は2つ以上のCPを表すことができ、より多数のタンパク質も幾何学的に考えられるようになった。 例えば、2つの二量体を組み合わせることで、これを達成することができる。 このようなキャプシドのタンパク質化学量論は、(120Θ T(h,k)Θ) となり、系列の最初の要素には、120、360、480のタンパク質が含まれることになる。 ピコビルナウィルスは、このシリーズの最初の要素の一例である（補足図3a）。 このウイルスは、2つのタンパク質二量体が平行に配置されたひし形状のタイルを形成し、合計120個のタンパク質を含んでいる28。 この構造は、従来、CKフレームワークでは禁制の(T=2)数として記述されていたが、高次の菱形タイルとして新しいフレームワークに自然にフィットする。 このシリーズの次の要素では、禁制数である(360タンパク質)と(8タンパク質)の存在が予測されます。 このパターンに従えば、3つのタンパク質2量体を表すひし形タイルの可能性が考えられ、これも必要な2回対称性を満たすことになる。 このようなキャプシドのタンパク質化学量論は、(180, T(h,k) )であり、このタイプの3つの最も小さい形状は、180、540、720のタンパク質を含んでいるであろう。 このシリーズの最初の要素の例として、フラビウイルス科のジカウイルス（補足図3b）がある。 このウイルスのキャプシドのひし形タイルは、6個の細長いタンパク質（タイルの2回対称性に従って3個の二量体が並列している）を表しており、30個のタイルは合計で180個のタンパク質を表していることがわかる。 2002年、ロスマン研究室と共同研究者は、デングウイルス29の各20面体非対称ユニット内の3つのEモノマーは、90の糖タンパク質Eダイマーから形成される外部の20面体足場において準等しい対称的環境を持たないことに気付いた。 3554>
このように、我々の枠組みは、カプシド幾何学のより詳細な理解によって、同じ数のカプシド蛋白質からなるカプシド構造を、異なるタイプのカプシド蛋白質組織と界面で区別し、準同等性理論の予測を拡張するものである。 このことは、ウイルスカプシドの安定性などの生物物理学的特性や、ウイルスのライフサイクルにおける役割（ビリオンの組み立て・分解時など）の理解を深め、ウイルスの進化に関する幾何学的制約を明らかにする上で重要である
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