De meeste kleitabletten die Babylonische wiskunde beschrijven, behoren tot het Oud-Babylonisch, vandaar dat de wiskunde van Mesopotamië algemeen bekend staat als Babylonische wiskunde. Sommige kleitabletten bevatten wiskundige lijsten en tabellen, andere bevatten problemen en uitgewerkte oplossingen.
RekenkundeEdit
De Babyloniërs gebruikten vooraf berekende tabellen als hulp bij het rekenen. Twee tabletten bijvoorbeeld, gevonden in Senkerah aan de Eufraat in 1854 en daterend uit 2000 v. Chr., geven lijsten van de kwadraten van getallen tot 59 en de kubussen van getallen tot 32. De Babyloniërs gebruikten de lijsten van kwadraten samen met de formules:
a b = ( a + b ) 2 – a 2 – b 2 2 {\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}}
a b = ( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 4 {{\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}
om het vermenigvuldigen te vereenvoudigen.
De Babyloniërs hadden geen algoritme voor een lange deling. In plaats daarvan baseerden zij hun methode op het feit dat:
a b = a × 1 b {\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}
samen met een tabel van reciprocalen. Getallen waarvan de enige priemfactoren 2, 3 of 5 zijn (bekend als 5-smooth of reguliere getallen) hebben eindige reciprocalen in sexagesimale notatie, en er zijn tabellen gevonden met uitgebreide lijsten van deze reciprocalen.
Reciprocalen zoals 1/7, 1/11, 1/13, enz. hebben geen eindige voorstellingen in sexagesimale notatie. Om 1/13 te berekenen of een getal door 13 te delen gebruikten de Babyloniërs een benadering als:
1 13 = 7 91 = 7 × 1 91 ≈ 7 × 1 90 = 7 × 40 3600 = 280 3600 = 4 60 + 40 3600 . {\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7 maal {\frac {1}{91}}=7 maal {\frac {1}{90}}=7 maal {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}+{\frac {40}{3600}}.}
AlgebraEdit
Het Babylonische kleitablet YBC 7289 (ca. 1800-1600 v.Chr.) geeft een benadering van √2 in vier sexagesimale cijfers, 1;24,51,10, die tot op ongeveer zes decimalen nauwkeurig is, en de dichtst mogelijke sexagesimale weergave van √2 in drie plaatsen is:
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 = 1,41421 296 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}+{\frac {10}{60^{3}}={\frac {30547}{21600}}=1,41421{\overline {296}}.}
Naast rekenkundige berekeningen ontwikkelden de Babylonische wiskundigen ook algebraïsche methoden om vergelijkingen op te lossen. Ook deze waren gebaseerd op vooraf berekende tabellen.
Om een kwadratische vergelijking op te lossen, gebruikten de Babyloniërs in wezen de standaard kwadratische formule. Zij beschouwden kwadratische vergelijkingen van de vorm:
x 2 + b x = c {\displaystyle \ x^{2}+bx=c}
waarbij b en c niet noodzakelijk gehele getallen waren, maar c was altijd positief. Zij wisten dat een oplossing van deze vorm van vergelijking is:
x = – b 2 + ( b 2 ) 2 + c {displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}right)^{2}+c}}
en ze vonden de vierkantswortels efficiënt door te delen en te middelen. Zij gebruikten altijd de positieve wortel omdat dit zinvol was bij het oplossen van “echte” problemen. Tot de problemen van dit type behoorde het vinden van de afmetingen van een rechthoek gegeven zijn oppervlakte en de hoeveelheid waarmee de lengte de breedte overschrijdt.
Tabellen met waarden van n3 + n2 werden gebruikt om bepaalde kubische vergelijkingen op te lossen. Neem bijvoorbeeld de vergelijking:
a x 3 + b x 2 = c . {ax^{3}+bx^{2}=c.}
Multiplicatie van de vergelijking met a2 en deling door b3 geeft:
( a x b ) 3 + ( a x b ) 2 = c a 2 b 3 . {\displaystyle \left({\frac {ax}{b}}}^{3}+\left({\frac {ax}{b}}})^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}.}
Substitueren van y = ax/b geeft:
y 3 + y 2 = c a 2 b 3 {\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}
die nu kon worden opgelost door de n3 + n2 tabel op te zoeken om de waarde te vinden die het dichtst bij het rechterlid lag. De Babyloniërs slaagden hierin zonder algebraïsche notatie, wat getuigt van een opmerkelijk inzicht. Zij beschikten echter niet over een methode om de algemene kubische vergelijking op te lossen.
GroeiEdit
Babyloniërs boetseerden exponentiële groei, beperkte groei (via een vorm van sigmoïde functies), en verdubbelingstijd, de laatste in de context van rente op leningen.
Kleitabletten uit ca. 2000 v. Chr. bevatten de oefening “Gegeven een rentevoet van 1/60 per maand (geen samenstelling), bereken de verdubbelingstijd.” Dit levert een jaarlijkse rente op van 12/60 = 20%, en dus een verdubbelingstijd van 100% groei/20% groei per jaar = 5 jaar.
Plimpton 322Edit
Het Plimpton 322-tablet bevat een lijst van “Pythagoreïsche driehoeken”, d.w.z. gehele getallen ( a , b , c ) {{a,b,c)}
zodanig dat a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
.De driehoeken zijn te talrijk en te groot om met brute kracht verkregen te zijn.
Er is veel over dit onderwerp geschreven, waaronder enkele (wellicht anachronistische) speculaties over de vraag of het tablet als een vroege trigonometrische tabel zou kunnen hebben gediend. De vraag “hoe werd het tablet berekend?” hoeft niet hetzelfde antwoord te hebben als de vraag “welke problemen stelt het tablet?” De eerste kan het meest bevredigend worden beantwoord door reciproke paren, zoals een halve eeuw geleden voor het eerst werd gesuggereerd, en de tweede door een soort rechthoekige problemen.
(E. Robson, “Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322”, Historia Math. 28 (3), p. 202).
GeometrieEdit
Babyloniërs kenden de gangbare regels voor het meten van volumes en oppervlakten. Zij maten de omtrek van een cirkel als drie maal de diameter en de oppervlakte als een twaalfde van het kwadraat van de omtrek, hetgeen correct zou zijn als π wordt geschat op 3. Zij waren zich ervan bewust dat dit een benadering was, en een Oud-Babylonisch wiskundetablet dat in 1936 bij Susa werd opgegraven (gedateerd tussen de 19e en 17e eeuw v. Chr.) geeft een betere benadering van π als 25/8 = 3.Het volume van een cilinder werd genomen als het product van het grondvlak en de hoogte, maar het volume van de korst van een kegel of een vierkante piramide werd ten onrechte genomen als het product van de hoogte en de helft van de som van de grondvlakken. De stelling van Pythagoras was ook bekend bij de Babyloniërs.
De “Babylonische mijl” was een afstandsmaat gelijk aan ongeveer 11,3 km (of ongeveer zeven moderne mijlen).Deze maat voor afstanden werd uiteindelijk omgezet in een “tijd-mijl” die werd gebruikt voor het meten van de reis van de zon, en dus voor het weergeven van tijd.
De oude Babyloniërs kenden al eeuwenlang stellingen over de verhoudingen van de zijden van gelijkvormige driehoeken, maar zij kenden het begrip hoekmaat niet en bestudeerden daarom in plaats daarvan de zijden van driehoeken.
De Babylonische astronomen hielden gedetailleerde registraties bij van het opkomen en ondergaan van de sterren, de beweging van de planeten, en de zons- en maansverduisteringen, waarvoor kennis nodig was van hoekafstanden gemeten aan de hemelbol.
Zij gebruikten ook een vorm van Fourier analyse om efemeriden (tabellen met astronomische posities) te berekenen, die in de jaren 1950 door Otto Neugebauer werd ontdekt. Om berekeningen te maken van de bewegingen van hemellichamen, gebruikten de Babyloniërs elementaire rekenkunde en een coördinatenstelsel gebaseerd op de ecliptica, het deel van de hemel waar de zon en de planeten doorheen trekken.
Tabletten die in het British Museum worden bewaard, leveren het bewijs dat de Babyloniërs zelfs zo ver gingen dat zij een concept hadden van objecten in een abstracte wiskundige ruimte. De tabletten dateren van tussen 350 en 50 v. Chr. en onthullen dat de Babyloniërs geometrie al eerder begrepen en gebruikten dan eerder werd gedacht. De Babyloniërs gebruikten een methode om de oppervlakte onder een kromme te schatten door er een trapezium onder te tekenen, een techniek waarvan men eerder dacht dat hij in het Europa van de 14e eeuw was ontstaan. Met deze schattingsmethode konden zij bijvoorbeeld de afstand bepalen die Jupiter in een bepaalde tijd had afgelegd.