Alai

INLEIDING

Logica is de studie van de patronen van samenhangend of consistent spreken. De belangrijkste toepassingen ervan zijn het zoeken naar inconsistenties in verhalen of verslagen en het identificeren van geldige en ongeldige vormen van redeneren of argumenteren.

Logica berust op het feit dat er uitspraken zijn die noodzakelijkerwijs waar zijn en dus niet kunnen worden vervalst, ongeacht wat er wel of niet het geval is. Dergelijke uitspraken worden tautologieën genoemd. Hier volgen enkele eenvoudige voorbeelden van tautologische uitspraken:

• Het regent of het regent niet.
• Jongens zijn jongens.
• Een cirkel is geen rechthoek.

Omdat tautologieën waar zijn ongeacht wat wel of niet het geval is, is het eenvoudigweg onmogelijk om een tegenvoorbeeld (een situatie waarin de tautologie niet waar zou zijn) te vinden, te construeren of zich zelfs maar voor te stellen. Om dezelfde reden is de negatie van een tautologie noodzakelijkerwijs onwaar en kan zij dus niet worden geverifieerd, ongeacht wat er wel of niet het geval is. Negaties van tautologieën worden contradicties genoemd. Het is onmogelijk een voorbeeld (een situatie waarin de contradictie een ware uitspraak zou zijn) te vinden, te construeren of zich zelfs maar voor te stellen. Hier zijn de tegenstrijdige beweringen die de negaties zijn van de hierboven opgesomde tautologieën:

• Het regent en het regent niet.
• Een of andere jongen is geen jongen.
• Een of andere cirkel is een rechthoek.

Incoherente redevoering impliceert dat de spreker in een tegenspraak verwikkeld is, die min of meer duidelijk kan zijn voor zijn publiek of zo goed verborgen in zijn argumenten dat alleen ijverige logische analyse deze aan het licht zal brengen.

PRINCIPES

In de volgende tabel noemen we enkele basisprincipes van de logica. Elk van hen is een tautologie.

Om het risico van de dubbelzinnigheden van natuurlijke taal te minimaliseren of te elimineren, gebruiken logici vaak een eenvoudigere maar eenduidige “formele” taal. Een eenvoudige gedeeltelijke formalisering van de hierboven genoemde principes zou bijvoorbeeld zijn:

Voor vele doeleinden zullen logici formaliseringen ontwikkelen die verfijnder zijn dan deze. Voor andere doeleinden is geen formalisering nodig.

Om logisch te spreken of te schrijven, mag men geen van de in de tabel genoemde beginselen expliciet of impliciet tegenspreken.

Bijvoorbeeld:

Het is onlogisch om van jezelf te zeggen

• dat je geen ding bent (wat in strijd is met ‘Bestaan’)

• dat je niet jij bent (wat in strijd is met ‘Identiteit’)

• dat je mij bent (wat in strijd is met ‘Uniciteit’).

Het is onlogisch om van uw kat te zeggen

• dat hij geen eigenschappen heeft (dat is in strijd met ‘Specificiteit’)

• dat hij dood is en niet dood (dat is in strijd met ‘Non-Contradictie’)

• dat het noch in goede gezondheid verkeert, noch niet in goede gezondheid verkeert (hetgeen in strijd is met ‘Uitgesloten midden’).

SUBJECT, PREDICATIE EN CONTEXT

Het woord ‘ding’, dat in elk van de beginselen van de logica voorkomt, verwijst naar alles waarover je iets zou kunnen willen zeggen. Zo is een voorwerp (de Eiffeltoren, uw computer) een ding. Dat geldt ook voor een dier (uw kat), een persoon (ik, u, uw vader), of een fictief personage (Mickey Mouse). Een historische of fictieve gebeurtenis (de Tweede Golfoorlog, de Big Bang, uw geboorte, het huwelijk van uw buurvrouw, de dood van Sherlock Holmes) is een ding. Andere dingen zijn een letter van het alfabet, een woord, een zin, een argument, enzovoort. Kortom, een ding is alles wat het onderwerp is of kan zijn van iets wat men zegt.

Wat men over een ding zegt, wordt het predicaat ervan genoemd — het is wat men ervan prediceert. Men kan bijvoorbeeld van een onderwerp prediceren dat het een bepaalde eigenschap heeft of niet heeft; of dat het in een bepaalde relatie staat of niet staat tot een of ander(e) ding(en).

Merk op dat men altijd een duidelijk onderscheid moet maken tussen een ding en de namen of beschrijvingen waarmee men het aanduidt. De naam “Oliver” bestaat uit zes letters, maar de persoon (zo die er al is) op wie de naam betrekking heeft, bestaat niet uit letters. De naam “Dracula”, als eigennaam van een vampier, verwijst niet naar een werkelijk ding – Dracula bestaat niet – maar de naam zelf bestaat uiteraard wel. Bijgevolg is, in de context van een beschrijving van de werkelijke wereld, het “axioma van bestaan” alleen van toepassing op de naam “Dracula”, maar niet op de niet-bestaande Dracula. Men moet het axioma van het bestaan dus niet lezen alsof het zegt “voor elke naam bestaat er een ding waarnaar de naam verwijst”.

Soms zien we dat een ding bekend is onder meer dan één naam of beschrijving. Bijvoorbeeld, de namen “de morgenster” en “de avondster” verwijzen naar dezelfde planeet. Dit feit levert ons echter geen tegenvoorbeeld of uitzondering op het principe van uniciteit op. Met andere woorden, het is niet zo dat we hier te maken hebben met een paar dingen – de morgenster en de avondster – zodanig dat het ene ding het andere ding is: er is slechts één planeet. Evenmin is het zo dat we hier te maken hebben met een paar dingen – de naam ‘de morgenster’ en de naam ‘de avondster’ – zodanig dat de ene naam identiek is aan de andere.

We moeten opmerken dat de beginselen van de logica verwijzen naar een bepaalde context. In het Dracula-verhaal verwijst de naam ‘Dracula’ naar iets dat verondersteld wordt werkelijk te bestaan. Het verhaal zou geen zin hebben, als men die veronderstelling niet maakte. Mickey Mouse bestaat niet in de echte fysieke wereld, maar hij wordt wel verondersteld te bestaan in de Mickey Mouse verhalen. Natuurlijk weet je wel dat het verhaal fictief is, maar om ervan te kunnen genieten, moet je wat het je vertelt duidelijk scheiden van wat je weet dat waar is in de echte wereld. Het door elkaar halen van de context van het echte leven en de context van een bepaald stuk fictie of verbeelding zal je niet helpen om het een of het ander te begrijpen.

Het bijhouden van contexten is een essentiële stap in de logica. Uitzoeken welke uitspraken wel, en welke uitspraken niet naar dezelfde context kunnen verwijzen, is het hoofddoel van de logica. Uw kat kan gisteren nog gezond en wel zijn geweest, maar vanmorgen ziek, en nu is hij misschien dood. Die uitspraak is niet tegenstrijdig. Het kan echter niet waar zijn dat uw kat levend en wel, ziek en dood is – en dat allemaal tegelijkertijd.

Een bewering, verbeelding of verhaal kan niet waar zijn, maar dat wil niet zeggen dat het onlogisch is. We kunnen wel degelijk nagaan of een verhaal onlogisch is of niet, ongeacht of het als waar bedoeld is. Een roman die in hoofdstuk één meldt dat de butler het lijk van zijn werkgever ontdekte en in hoofdstuk acht stelt dat de butler al dood was tegen de tijd dat zijn werkgever stierf, is onlogisch. Het vertelt een verhaal dat onmogelijk waar kan zijn. Anderzijds is het denkbaar dat een logisch consistent of samenhangend verhaal waar is, ook al is het dat niet.

Uiteraard is nagaan of een verhaal consistent is niet hetzelfde als nagaan of het waar is. Nagaan of het ene verhaal overeenkomt met het andere is niet hetzelfde als nagaan of het overeenkomt met wat we van de echte wereld weten.

Als twee mensen het op een bepaald punt oneens zijn, moet ten minste een van hen iets zeggen dat niet waar is. Het is ook mogelijk dat beiden iets zeggen dat niet waar is. Maar als zij niet pretenderen de echte wereld of hetzelfde fictieve verhaal te bespreken, maar slechts verhalen produceren voor het plezier van hun lezers, dan zouden zij zich vermoedelijk niet bekommeren om de overeenstemming van hun literaire producten met de feiten van de werkelijkheid of de feiten van welk verhaal dan ook, behalve dat van henzelf.

Er zijn uitspraken die waar zijn in de ene context en onwaar in een andere, maar tautologieën zijn waar in alle contexten en tegenstrijdigheden zijn onwaar in alle contexten. Dat is gewoon een andere manier om te zeggen dat tautologieën noodzakelijkerwijs waar zijn en daarom niet kunnen worden vervalst, ongeacht wat er wel of niet het geval is; en dat tegenstrijdigheden noodzakelijkerwijs onwaar zijn en daarom niet kunnen worden geverifieerd, ongeacht wat er wel of niet het geval is.

LOGIEK EN RHETORIEK

Iets onlogisch zeggen is iets zeggen dat, als het letterlijk wordt genomen, niet waar kan zijn. Het is iets zeggen waarvan we ons zelfs niet kunnen voorstellen dat het waar is – en niet door een gebrek aan voorstellingsvermogen.

Als iemand zegt: ‘Mijn kat is dood en niet dood’, dan kan wat hij zegt niet waar zijn, althans als we hem letterlijk nemen. Om zijn bewering te begrijpen, moeten we aannemen dat hij het woord ‘dood’ in twee verschillende betekenissen gebruikt, bijvoorbeeld: ‘Mijn kat leeft, maar ze is zo lusteloos dat ze net zo goed dood kan zijn’. Die interpretatie heft de tegenspraak op, maar alleen door aan te nemen dat hij iets anders zegt dan wat hij letterlijk zei.

Wanneer iemand zegt ‘Ik ben mezelf niet vandaag’, dan zijn we geneigd aan te nemen dat hij zoiets bedoelt als ‘Ik weet niet wat er met me aan de hand is vandaag, maar mijn huidige gedrag is ongewoon voor mij’. Als hij er echter op staat dat wij zijn woorden letterlijk nemen, dan kunnen wij geen wijs worden uit wat hij zegt. Het kan onmogelijk waar zijn.

Wanneer iemand opzettelijk iets zegt dat op het eerste gezicht onlogisch is, is de kans groot dat hij niet wil dat zijn publiek het letterlijk interpreteert. Hij spreekt waarschijnlijk retorisch om een punt te maken of te benadrukken. Op zich is er niets mis met dergelijke retorische spitsvondigheden, maar ze moeten met de nodige omzichtigheid worden gebruikt omdat ze de kans op misverstanden vergroten. Men zegt immers iets dat niet letterlijk moet worden genomen, maar men laat het aan het publiek over om uit te vinden wat men eigenlijk wil zeggen.
Bovendien kunnen retorische uitdrukkingen misleidend zijn. Demagogen en oplichters gebruiken ze vaak om de aandacht van hun publiek af te leiden van relevante feiten of om hen ertoe te brengen het een met het ander te associëren terwijl er geen objectieve basis voor de associatie is. Hoe minder het publiek getraind is in logica, hoe gemakkelijker het voor demagogen en oplichters is om hen te misleiden. Zoals Bertrand Russell zei: ‘Logica is de beste verdediging tegen bedrog.’

Vaak is het onlogische karakter van wat iemand zegt niet duidelijk, of is het duidelijk niet, een beoogd resultaat. Het kan zijn dat het pas verschijnt bij nadere analyse van wat hij heeft gezegd of door het combineren van verschillende delen van zijn boodschap. Het kan ook zijn dat het alleen verschijnt door expliciet te maken wat hij niet met zoveel woorden heeft gezegd, maar zou moeten bevestigen omdat het impliciet is in wat hij wel expliciet heeft gezegd. Soms is een spreker zich niet volledig bewust van alle logische implicaties van wat hij zegt. Soms is hij zich niet bewust van het bestaan van feitelijke of theoretische kennis die van toepassing is op wat hij zegt. Beschouw het volgende bericht:

1. Ik heb een stuk vlak land gekocht dat een perfecte rechthoekige driehoek is.

2. Een zijde is 30 meter lang.

3. Een zijde is 40 meter lang.

4. De derde zijde is 55 meter lang

Dat lijkt een eenvoudige beschrijving van een stuk land zonder een zweem van retorische verfraaiing of overdrijving. Een elementaire kennis van de meetkunde (in het bijzonder van de stelling van Pythagoras) leert echter dat een rechthoekige driehoek met de afmetingen die de spreker noemt, niet kan bestaan. Als het waar is wat de spreker zegt, dan is de stelling van Pythagoras fout! Aan de andere kant, als de stelling waar is dan is ten minste één van zijn metingen, of zijn beschrijving van de vorm van zijn land, fout. Als we redelijkerwijs aannemen dat de stelling waar is, kunnen we dus afleiden dat de spreker een fout heeft gemaakt of heeft gelogen over het land dat hij beweert te hebben gekocht.

INFERCES EN PROOFS

Voorstel dat Jane een leerling is en dat haar leraar je vertelt dat alle leerlingen in Jane’s klas zijn geslaagd voor het examen. Hoewel de leraar het niet met zoveel woorden zegt, mag u daaruit afleiden dat Jane voor het examen is geslaagd. Jane is immers een leerling uit haar klas.

Vooronderstelling 1: Alle leerlingen uit Jane’s klas zijn geslaagd voor het examen.

Vooronderstelling 2: Jane is een leerling uit Jane’s klas.
Conclusie: Jane is geslaagd voor het examen.

Deze gevolgtrekking is geldig. Het bewijst echter niet dat Jane voor het examen is geslaagd. Immers, de bewering dat Jane voor het examen is geslaagd, wordt slechts afgeleid uit wat de docent heeft gezegd. Heeft de leraar de waarheid gesproken? Stel dat blijkt dat Jane het examen niet heeft gehaald. Dan kunnen we bewijzen dat wat de leraar tegen Jane zei niet waar was. Het bewijs gaat als volgt:

feit 1: De leraar heeft gezegd dat alle leerlingen uit de klas van Jane geslaagd zijn voor het examen.
feit 2: Jane is een leerling uit de klas van Jane.
feit 3: Jane is niet geslaagd voor het examen.
Inclusie: Ten minste één student in de klas van Jane is niet geslaagd voor het examen.
Inclusie: Het is niet waar dat alle leerlingen in de klas van Jane het examen hebben gehaald.
Conclusie: Wat de leraar zei was niet waar.

Een ander bewijs voor dezelfde conclusie zou zijn

feit 1: De leraar zei dat alle leerlingen van Jane’s klas voor het examen zijn geslaagd.
feit 2: Jane is een leerling uit Jane’s klas.
Inclusie: Als het waar was wat de leraar zei, dan is Jane geslaagd voor het examen.
Feit 3: Jane is niet geslaagd voor het examen.
Conclusie: Wat de leraar zei was niet waar.

Ook hier is de conclusie geldig afgeleid uit de beweringen die eraan voorafgaan (de premissen van het argument). Maar omdat zij door middel van andere geldige gevolgtrekkingen uit de feiten wordt afgeleid, kunnen we nu zeggen dat we een bewijs hebben dat de conclusie waar is. Een bewijs is een geldige gevolgtrekking die uitgaat van feiten (die worden meegedeeld door middel van ware beweringen). Geldige gevolgtrekkingen kunnen echter ook worden gemaakt uit uitspraken die niet waar zijn.

Het is duidelijk dat een bewijs een geldige gevolgtrekking is, maar niet elke geldige gevolgtrekking is een bewijs. Beschouw

Premisse 1: Leeuwen zijn vogels
Premisse 2: Vogels hebben vleugels
Conclusie: Leeuwen hebben vleugels

De conclusie is geldig afgeleid uit de premissen, maar we mogen niet zeggen dat we bewezen hebben dat leeuwen vleugels hebben. De conclusie is onwaar, en we kunnen logischerwijs niet beweren dat we kunnen bewijzen wat onwaar is. Beschouw ook

Premisse 1: Leeuwen zijn vogels
Premisse 2: Vogels zijn dieren
Conclusie: Leeuwen zijn dieren

Ook hier is de conclusie geldig afgeleid uit de premissen. Deze keer is de conclusie waar: leeuwen zijn dieren. Maar de gevolgtrekking is nog steeds geen bewijs voor de conclusie. Een van de premissen is onwaar, en we kunnen logischerwijs niet beweren dat een onwaarheid steun geeft aan een bewering.

Het is duidelijk dat geen van beide gevolgtrekkingen bewijst dat de conclusie waar is. Toch zijn het allebei geldige gevolgtrekkingen, want elk van de volgende hypothetische uitspraken is een tautologie:

• Als

leeuwen vogels zijn en als vogels vleugels hebben dan hebben leeuwen vleugels

• Als

leeuwen vogels zijn en als vogels dieren zijn dan zijn leeuwen dieren

In deze hypothetische uitspraken wordt niets gezegd over de waarheid of onwaarheid van de premissen of de conclusies van de gevolgtrekkingen. De uitspraken bevestigen slechts dat als de premissen waar zijn, de conclusie waar is.

Bij voorbeeld, de gevolgtrekking over Jane’s examenresultaat is geldig omdat de volgende hypothetische uitspraak een tautologie is:

• Als

alle leerlingen in Jane’s klas voor het examen zijn geslaagd en als Jane een leerling is in Jane’s klas dan is Jane voor het examen geslaagd

Ook hier wordt niets gezegd over de waarheid of onwaarheid van de premissen of de conclusie van de gevolgtrekking. Er wordt alleen gezegd dat

• Als

de premissen waar zijn, dan is de conclusie waar.

Omdat dat patroon hier een tautologie voorstelt, die waar is ongeacht wat al dan niet het geval kan zijn, kunnen we bovendien zeggen

• Als

de premissen waar zijn dan moet de conclusie waar zijn

Omdat de hypothetische uitspraken waarmee we hier te maken hebben tautologieën zijn, zijn hun ontkenningen tegenstrijdigheden. Met betrekking tot de gevolgtrekkingen die we als voorbeeld hebben genomen, voldoen die negaties aan het patroon

• De premissen zijn waar en de conclusie is niet waar

Bijv. ‘Alle leerlingen van Jane’s klas zijn geslaagd voor het examen en Jane is een leerling van Jane’s klas maar Jane is niet geslaagd voor het examen’; ‘Leeuwen zijn vogels en vogels hebben vleugels maar sommige leeuwen hebben geen vleugels’.

Doordat het genoemde patroon hier de negatie van een tautologie weergeeft, vertegenwoordigt het bovendien een contradictie:

• De uitspraken ‘de premissen zijn waar’ en ‘de conclusie is niet waar’ zijn met elkaar in tegenspraak

Dus, als we te maken hebben met een geldige gevolgtrekking, kan men logischerwijs niet de premissen van de gevolgtrekking bevestigen zonder ook de conclusie ervan te bevestigen. Door de premissen van een geldige gevolgtrekking te bevestigen en tegelijkertijd te weigeren de conclusie te bevestigen, komt men in een tegenstrijdigheid terecht – men houdt iets voor waar dat eenvoudig niet waar kan zijn. Met andere woorden, men spreekt incoherent.

Vanuit wat we tot nu toe hebben gezegd, is het gemakkelijk te begrijpen hoe een logicus de geldigheid van een gevolgtrekking gaat controleren. Hij doet dit door te proberen een situatie te vinden, te construeren of zich voor te stellen waarin de premissen waar zijn maar de conclusie onjuist. Met andere woorden, hij probeert een tegenvoorbeeld te bedenken. Als hij in zijn poging slaagt, heeft hij bewezen dat de gevolgtrekking niet geldig is.

Het loutere feit dat hij er niet in slaagt een tegenvoorbeeld te produceren, geeft ons echter geen dwingende reden om te zeggen dat hij de geldigheid van de gevolgtrekking in kwestie heeft bewezen. Het kan zijn dat zijn zoektocht naar een tegenvoorbeeld niet uitputtend was – dat hij niet alle mogelijkheden heeft overwogen.

Tenzij hij kan aantonen dat zijn poging alle mogelijkheden heeft overwogen en daarom neerkomt op een bewijs dat het zoeken naar een tegenvoorbeeld zinloos en hopeloos is, is zijn negatieve resultaat niet doorslaggevend. Kan hij daarentegen aantonen dat hij alle mogelijkheden heeft onderzocht en toch geen tegenvoorbeeld heeft kunnen vinden, dan heeft hij het recht te zeggen dat er geen tegenvoorbeeld kan bestaan en dat de gevolgtrekking die hij onderzoekt dus geldig is.

Hieruit kunnen we ook opmaken dat logisch denken er in de eerste plaats in bestaat rekening te houden met alle mogelijke gevallen en contexten.