Complexe getallen zijn nuttig voor AC-circuitanalyse omdat ze een handige methode bieden om faseverschuiving tussen AC grootheden zoals spanning en stroom symbolisch aan te geven.
De gelijkwaardigheid tussen abstracte vectoren en reële circuitgrootheden is echter voor de meeste mensen niet eenvoudig te begrijpen. Eerder in dit hoofdstuk hebben we gezien hoe aan wisselspanningsbronnen spanningscijfers in complexe vorm worden gegeven (magnitude en fasehoek), alsmede polariteitsmarkeringen.
Omdat wisselstroom geen vaste “polariteit” heeft zoals de gelijkstroom dat wel heeft, zijn deze polariteitsmarkeringen en hun relatie tot de fasehoek vaak verwarrend. Deze paragraaf is geschreven in een poging om enkele van deze kwesties te verduidelijken.
Voltage is een inherent relatieve grootheid. Wanneer we een spanning meten, hebben we een keuze in de manier waarop we een voltmeter of ander spanningsmeetinstrument aansluiten op de spanningsbron, aangezien er twee punten zijn waartussen de spanning bestaat, en twee meetsnoeren op het instrument waarmee we de verbinding kunnen maken.
In DC-circuits geven we de polariteit van spanningsbronnen en spanningsdalingen expliciet aan, met behulp van “+” en “-” symbolen, en gebruiken we kleurgecodeerde meter meetsnoeren (rood en zwart). Als een digitale voltmeter een negatieve gelijkspanning aangeeft, weten we dat de meetsnoeren “achterwaarts” op de spanning zijn aangesloten (rode leiding verbonden met de “-” en zwarte leiding met de “+”).
Batterijen hebben hun polariteit aangegeven door middel van intrinsieke symbologie: de korte-lijn zijde van een batterij is altijd de negatieve (-) zijde en de lange-lijn zijde altijd de positieve (+): (Onderstaande figuur)
Conventionele batterijpolariteit.
Hoewel het mathematisch correct zou zijn om de spanning van een batterij voor te stellen als een negatief getal met omgekeerde polariteitsmarkeringen, zou dit beslist onconventioneel zijn: (Onderstaande figuur)
Decidedly unconventional polarity marking.
De interpretatie van deze notatie zou eenvoudiger zijn als de “+” en “-” polariteitsmarkeringen werden gezien als referentiepunten voor voltmeter-testkabels, waarbij de “+” “rood” betekent en de “-” “zwart”. Een voltmeter aangesloten op de bovenstaande batterij met de rode draad op de onderste terminal en de zwarte draad op de bovenste terminal zou inderdaad een negatieve spanning (-6 volt) aangeven.
In feite is deze vorm van notatie en interpretatie niet zo ongebruikelijk als je zou denken: het wordt vaak aangetroffen in problemen van DC-netwerkanalyse waar “+” en “-” polariteitsmarkeringen in eerste instantie worden getekend volgens educated guess, en later geïnterpreteerd als correct of “achterlijk” volgens het wiskundige teken van het berekende cijfer.
In AC-circuits, echter, hebben we niet te maken met “negatieve” hoeveelheden spanning. In plaats daarvan beschrijven wij in welke mate een spanning een andere spanning helpt of tegenwerkt door fase: de tijdverschuiving tussen twee golfvormen. We beschrijven een wisselspanning nooit als negatief, omdat de polaire notatie vectoren toestaat die in tegengestelde richting wijzen.
Als een wisselspanning een andere wisselspanning rechtstreeks tegenwerkt, zeggen we eenvoudig dat de ene 180o uit fase is met de andere.
Steeds is spanning relatief tussen twee punten, en we hebben een keuze in hoe we een spanningsmeetinstrument tussen die twee punten kunnen aansluiten. Het mathematische teken van de aflezing van een gelijkspanningsmeter heeft alleen betekenis in de context van de aansluitingen van de meetsnoeren: welke aansluiting de rode kabel aanraakt, en welke aansluiting de zwarte kabel aanraakt.
Ook de fasehoek van een wisselspanning heeft alleen betekenis in de context van de wetenschap welke van de twee punten wordt beschouwd als het “referentie”-punt. Vanwege dit feit worden “+” en “-” polariteitsmarkeringen vaak bij de aansluitklemmen van een wisselspanning in schema’s geplaatst om de aangegeven fasehoek een referentiekader te geven.
Voltmeteraflezing per meetsnoeraansluiting
Laten we deze principes eens bekijken met enkele grafische hulpmiddelen. Ten eerste, het principe van het relateren van meetsnoeraansluitingen aan het mathematische teken van een DC voltmeter indicatie: (Onderstaande figuur)
De kleuren van de meetsnoeren bieden een referentiekader voor de interpretatie van het teken (+ of -) van de aanwijzing van de meter.
Het mathematische teken van het display van een digitale gelijkspanningsmeter heeft alleen betekenis in de context van de aansluitingen van de meetsnoeren. Beschouw het gebruik van een gelijkspanningsmeter om te bepalen of twee gelijkspanningsbronnen elkaar helpen of tegenwerken, in de veronderstelling dat beide bronnen ongelabeld zijn wat hun polariteit betreft.
Met de voltmeter meet u over de eerste bron: (
(+) De meting geeft aan dat zwart (-) is, rood (+).
De eerste meting van +24 over de linker spanningsbron vertelt ons dat de zwarte draad van de meter werkelijk de negatieve kant van spanningsbron nr. 1 raakt, en de rode draad van de meter werkelijk de positieve. We weten dus dat bron #1 een batterij is die in deze richting wijst: (onderstaande figuur).
De 24V-bron is gepolariseerd (-) op (+).
Meten van de andere onbekende spanningsbron: (
(-) Aflezing geeft aan dat zwart (+) is, rood (-).
De aflezing van deze tweede voltmeter is echter een negatieve (-) 17 volt, wat ons vertelt dat de zwarte testkabel in feite de positieve kant van spanningsbron #2 raakt, terwijl de rode testkabel in feite de negatieve kant raakt. We weten dus dat bron #2 een batterij is die in tegengestelde richting werkt: (Figuur hieronder)
17V bron is gepolariseerd (+) naar (-)
Het zou voor elke ervaren student van gelijkstroom-elektriciteit duidelijk moeten zijn dat deze twee batterijen tegengesteld aan elkaar werken. Per definitie trekken tegengestelde spanningen van elkaar af, dus trekken we 17 volt af van 24 volt om de totale spanning over de twee te verkrijgen: 7 volt.
We zouden de twee bronnen echter kunnen tekenen als onopvallende dozen, gelabeld met de exacte spanningscijfers verkregen door de voltmeter, waarbij de polariteitsmarkeringen de plaatsing van de voltmeter-testkabels aangeven: (Onderstaande figuur)
Voltmeterstanden zoals afgelezen van meters.
Betekenis van polariteitsmarkeringen
Volgens dit diagram geven de polariteitsmarkeringen (die de plaatsing van de meetsnoeren aangeven) aan dat de bronnen elkaar helpen. Per definitie tellen ondersteunende spanningsbronnen bij elkaar op om het totale voltage te vormen, dus tellen we 24 volt bij -17 volt op om 7 volt te verkrijgen: nog steeds het juiste antwoord.
Als we de polariteitsmarkeringen onze beslissing laten leiden om spanningscijfers toe te voegen of af te trekken – of die polariteitsmarkeringen nu de ware polariteit vertegenwoordigen of slechts de oriëntatie van het meetsnoer – en de wiskundige tekens van die spanningscijfers in onze berekeningen opnemen, zal het resultaat altijd juist zijn.
Ook hier dienen de polariteitsmarkeringen als referentiekaders om de wiskundige tekens van de spanningscijfers in de juiste context te plaatsen.
Hetzelfde geldt voor wisselspanningen, behalve dat de fasehoek in de plaats komt van het wiskundige teken. Om meerdere AC-spanningen met verschillende fasehoeken met elkaar in verband te brengen, hebben wij polariteitsmarkeringen nodig om referentiekaders voor de fasehoeken van die spanningen te verschaffen. (Onderstaande figuur)
Neem bijvoorbeeld de volgende schakeling:
Fasehoek vervangt ± teken.
De polariteitsmarkeringen tonen deze twee spanningsbronnen die elkaar ondersteunen, dus om de totale spanning over de weerstand te bepalen moeten we de spanningscijfers van 10 V ∠ 0° en 6 V ∠ 45° bij elkaar optellen om 14 te verkrijgen.861 V ∠ 16,59°.
Het zou echter volkomen aanvaardbaar zijn om de 6-volt bron voor te stellen als 6 V ∠ 225°, met een omgekeerde reeks van polariteitsmarkeringen, en nog steeds op dezelfde totale spanning uit te komen: (onderstaande figuur)
Door de voltmeterkabels op de 6V-bron om te draaien, verandert de fasehoek met 180°.
6 V ∠ 45° met negatief links en positief rechts is precies hetzelfde als 6 V ∠ 225° met positief links en negatief rechts: de omkering van de polariteitsmarkeringen vormt een perfecte aanvulling op de toevoeging van 180° aan de aanduiding van de fasehoek: (Figuur hieronder)
Het omkeren van de polariteit voegt 180° toe aan de fasehoek
In tegenstelling tot gelijkspanningsbronnen, waarvan de symbolen intrinsiek de polariteit definiëren door middel van korte en lange lijnen, hebben wisselspanningssymbolen geen intrinsieke polariteitsmarkering. Daarom, moeten om het even welke polariteitsmarkeringen als extra symbolen op het diagram worden opgenomen, en er is geen één “correcte” manier om hen te plaatsen.
Ze moeten, nochtans, met de gegeven fasehoek correleren om de ware faserelatie van die spanning met andere spanningen in de kring te vertegenwoordigen.