Nuñez werd geboren in Colón, Cuba. Nunez’ moeder, een tandarts, en vader, een advocaat, gingen naar school aan de Universiteit van Havana toen Fidel Castro daar student was. Rond 1960 verhuisde het gezin eerst naar Caracas, Venezuela, en vervolgens naar de Verenigde Staten. Zijn familie verhuisde naar Boston toen hij twee jaar oud was en vervolgens naar Union City, New Jersey, toen hij vier jaar oud was. In 1964 werd hij genaturaliseerd tot Amerikaans staatsburger. Hij is tweetalig in het Engels en Spaans. Nunez bezocht verschillende hogescholen in New York, waaronder Fashion Institute of Technology en de Parsons School of Design for writing, en werd gecertificeerd tandtechnicus na een studie aan het Magna Institute of Dental Technology.
Nunez begon zijn comedy-carrière in New York, waar hij meer dan 300 shows speelde met The Shock of the Funny theatergezelschap. De groep was een aantal jaren actief in de East Village. Naast zijn werk met Shock trad Nunez op in theaters in New York en Washington, D.C., voordat hij in het midden van de jaren 1990 naar Los Angeles verhuisde. In LA sloot hij zich aan bij The Groundlings en trad op in hun Sunday Company. Bij de Groundlings schreef hij en speelde hij in een productie genaamd “Smooth Down There.”
In 1997 studeerde Nunez af aan de Warner Brothers Comedy Writer’s Workshop. In 1999 was hij een finalist in het ABC Latino Writers Project.
In 1998 verscheen hij in de spelshow Match Game, maar was geen winnaar.
Nunez was Adam Carolla’s stand-in in The Man Show.
Nunez’s televisiecredits zijn onder andere Malcolm in the Middle, 24, Curb Your Enthusiasm, Reno 911!, The District en Mad TV, naast zijn rol in The Office. Hij was ook de bedenker en uitvoerend producent van de Comedy Central-serie Halfway Home, waarin hij meespeelde als het personage Eulogio Pla.
Zijn filmcredits omvatten The Italian Job (als een bewaker), Reno 911! Miami, en When Do We Eat?. In 2009 speelde Nunez de rol van Ramon, de cateraar, stripper, soda jerk, en uiteindelijk geestelijke die de huwelijksceremonie uitvoert in The Proposal. In 2012 speelde Nunez de rol van Jose Baez, een advocaat in de Lifetime film Prosecuting Casey Anthony.
Nunez verscheen als een van de acht juryleden in de 2010 Miss USA Contest, waarbij ze een vraag stelde over de Arizona ongedocumenteerde immigrantenwet aan Miss Oklahoma USA, Morgan Elizabeth Woolard. Nunez werd uitgejouwd door het publiek voordat hij klaar was met de vraag, maar hij vroeg het publiek te wachten tot hij klaar was met de vraag voordat ze reageerden. Hoewel Woolard antwoordde dat ze de wet steunt als een kwestie van staatsrechten, voegde ze eraan toe dat ze tegen raciale profilering is.
In 2014 was Nunez co-sterred naast Eliza Coupe en Jay Harrington in de kortstondige USA Network-comedyserie Benched.
In 2016 verscheen Nunez als een reguliere in de TBS-comedyserie, People of Earth, op TBS.
In 2018 portretteerde Nunez State Farm Insurance Agent Cole Perez in een reeks commercials.
In juli 2018 nam Nunez de rol van Desi Arnaz op zich, met een hoofdrol in de wereldpremièreproductie van I Love Lucy: A Funny Thing Happened on the Way to the Sitcom, een achter de schermen toneelkomedie over I Love Lucy door Gregg Oppenheimer (zoon van serie-maker Jess Oppenheimer). Opgenomen voor een live publiek in het UCLA’s James Bridges Theater, de L.A. Theatre Works productie werd uitgezonden op de publieke radio en is uitgebracht op Audio CD en als een downloadbare mp3.
Tegenwoordig vertolkt Nunez Mr. Hernandez in het Netflix origineel Mr. Iglesias.