Alai

In de wiskunde is de standaardbasis (ook wel natuurlijke basis genoemd) van een coördinaatvectorruimte de verzameling vectoren waarvan de coördinaten allemaal nul zijn, behalve één die gelijk is aan 1. Bijvoorbeeld, in het geval van het Euclidisch vlak gevormd door de paren (x, y) van reële getallen, wordt de standaardbasis gevormd door de vectoren

e x = ( 1 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}

Elke vector a in drie dimensies is een lineaire combinatie van de standaard basisvectoren i, j, en k.

Zo wordt ook de standaardbasis voor de driedimensionale ruimte gevormd door de vectoren

e x = ( 1 , 0 , 0 ) , e y = ( 0 , 1 , 0 ) , e z = ( 0 , 0 , 1 ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}

Hierbij wijst de vector ex in de x-richting, de vector ey in de y-richting, en de vector ez in de z-richting. Er zijn verschillende notaties voor standaard-basis vectoren, waaronder {ex, ey, ez}, {e1, e2, e3}, {i, j, k}, en {x, y, z}. Deze vectoren worden soms met een hoedje geschreven om hun status als eenheidsvectoren (standaard eenheidsvectoren) te benadrukken.

Deze vectoren vormen een basis in die zin dat elke andere vector uniek kan worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van deze. Bijvoorbeeld, elke vector v in de driedimensionale ruimte kan uniek geschreven worden als

v x e x + v y e y + v z e z , {\displaystyle v_{x}},\mathbf {e} _{x}+v_{y},\mathbf {e} _{y}+v_{z}},

de scalaren vx, vy, vz zijn de scalaire componenten van de vector.

In de n-dimensionale euclidische ruimte R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} bestaat de standaardbasis uit n verschillende vectoren

{ e i : 1 ≤ i ≤ n } , waarin ei de vector met een 1 in de i-de coördinaat en 0’s elders aanduidt.

Standaardbases kunnen worden gedefinieerd voor andere vectorruimten, waarvan de definitie coëfficiënten omvat, zoals polynomen en matrices. In beide gevallen bestaat de standaardbasis uit de elementen van de ruimte zo dat alle coëfficiënten op één na 0 zijn en de coëfficiënt die niet nul is 1. Voor polynomen bestaat de standaardbasis dus uit de monomialen en wordt hij gewoonlijk monomiaalbasis genoemd. Voor matrices M m × n {{\displaystyle {\mathcal {M}}_{m} keer n}} , bestaat de standaardbasis uit de m×n-matrices met precies één waarde niet nul, die 1 is. Bijvoorbeeld, de standaardbasis voor 2×2 matrices wordt gevormd door de 4 matrices

e 11 = ( 1 0 0 0 ) , e 12 = ( 0 1 0 0 ) , e 21 = ( 0 0 1 0 ) , e 22 = ( 0 0 0 1 ) . {\mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0&0&0 eind{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1&0&0 eind{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&1&0&0&0&1{pmatrix}}.}