Alai

Wat is wiskunde? Een stukje geschiedenis Wiskunde als Discipline Beauty in Mathematics Probleemoplossen Eindopmerkingen Wat is wiskunde? Wiskunde is een oude, brede en diepgaande discipline (studiegebied). Mensen die het wiskundeonderwijs willen verbeteren, moeten begrijpen “Wat is wiskunde?”

Een stukje geschiedenis

Wiskunde als een formeel gebied van onderwijzen en leren werd zo’n 5000 jaar geleden ontwikkeld door de Sumeriërs. Zij deden dit tegelijk met het ontwikkelen van lezen en schrijven. De wortels van de wiskunde gaan echter veel verder terug dan 5.000 jaar.

In de loop van hun geschiedenis hebben de mensen de behoefte gehad om te meten en te communiceren over tijd, hoeveelheid en afstand. Het Ishango Been (zie ahttp://www.math.buffalo.edu/mad/
Ancient-Africa/ishango.html en http://www.naturalsciences.be/expo/ishango/
nl/ishango/riddle.html) is een handvat van benen werktuigen van ongeveer 20.000 jaar oud.

De afbeelding hieronder toont Sumerische kleipenningen waarvan het gebruik ongeveer 11.000 jaar geleden begon (zie http://www.sumerian.org/tokens.htm). Dergelijke kleipenningen waren een voorloper van lezen, schrijven en wiskunde.

De ontwikkeling van lezen, schrijven en formele wiskunde 5000 jaar geleden maakte de codificatie van wiskundige kennis en formeel onderwijs in de wiskunde mogelijk, en begon een gestage accumulatie van wiskundige kennis.

Wiskunde als Discipline

Een discipline (een georganiseerd, formeel studiegebied) zoals de wiskunde wordt meestal gedefinieerd door de soorten problemen die het behandelt, de methoden die het gebruikt om deze problemen aan te pakken, en de resultaten die het heeft bereikt. Een manier om dit geheel van informatie te ordenen is het te verdelen in de volgende drie categorieën (uiteraard overlappen zij elkaar):

1. Wiskunde als een menselijke inspanning. Neem bijvoorbeeld de wiskunde van het meten van tijd, zoals jaren, seizoenen, maanden, weken, dagen, enzovoort. Of denk aan de meting van afstand, en de verschillende systemen van afstandsmeting die zich over de hele wereld hebben ontwikkeld. Of denk aan wiskunde in kunst, dans en muziek. Er is een rijke geschiedenis van menselijke ontwikkeling van wiskunde en wiskundige toepassingen in onze moderne samenleving.
2. Wiskunde als een discipline. U bent bekend met tal van academische disciplines zoals archeologie, biologie, scheikunde, economie, geschiedenis, psychologie, sociologie, enzovoort. Wiskunde is een brede en diepe discipline die steeds breder en diepgaander wordt. Tegenwoordig is een proefschrift over wiskunde typisch gericht op definities, stellingen en bewijzen met betrekking tot een enkel probleem in een beperkt deelgebied van de wiskunde.
3. Wiskunde als een interdisciplinaire taal en instrument. Net als lezen en schrijven is wiskunde een belangrijk onderdeel van leren en “doen” (je kennis gebruiken) in elke academische discipline. Wiskunde is zo’n nuttige taal en instrument dat het wordt beschouwd als een van de “basics” in ons formele onderwijssysteem.

Voor een groot deel zijn studenten en veel van hun docenten geneigd wiskunde te definiëren in termen van wat ze leren in wiskundecursussen, en deze cursussen hebben de neiging zich te richten op #3. De instructie en de beoordeling zijn gericht op basisvaardigheden en op het oplossen van relatief eenvoudige problemen met behulp van deze basisvaardigheden. Zoals uit de bovenstaande bespreking van de drie componenten blijkt, is dit slechts een deel van wiskunde.

Zelfs binnen de derde component is het niet duidelijk waarop de nadruk moet worden gelegd in het leerplan, de instructie en de beoordeling. De kwestie van basisvaardigheden versus hogere-orde-vaardigheden is bijzonder belangrijk in het wiskundeonderwijs. Hoeveel tijd van het wiskundeonderwijs moet worden besteed aan het helpen van leerlingen bij het verwerven van een hoge mate van nauwkeurigheid en automatisme in elementaire reken- en procedurele vaardigheden? Hoeveel tijd moet worden besteed aan hogere-ordevaardigheden zoals probleemstelling, probleemrepresentatie, het oplossen van complexe problemen, en het overdragen van wiskundige kennis en vaardigheden op problemen in niet-wiskundige disciplines?

Beauty in Mathematics

Relatief weinig K-12 leraren bestuderen voldoende wiskunde zodat ze de breedte, diepte, complexiteit en schoonheid van het vak begrijpen en waarderen. Wiskundigen hebben het vaak over de schoonheid van een bepaald bewijs of wiskundig resultaat. Herinnert u zich dat een van uw wiskundeleraren op K-12 ooit heeft gesproken over de schoonheid van wiskunde?

G. H. Hardy was een van ’s werelds meest vooraanstaande wiskundigen in de eerste helft van de 20e eeuw. In zijn boek “A Mathematician’s Apology” gaat hij uitvoerig in op de verschillen tussen zuivere en toegepaste wiskunde. Hij bespreekt twee voorbeelden van (mooie) zuivere wiskundeproblemen. Dit zijn problemen die sommige leerlingen van de middelbare school goed zouden kunnen oplossen, maar ze zijn heel anders dan de soorten wiskunde die in ons huidige K-12 curriculum aan bod komen. Beide problemen werden meer dan 2000 jaar geleden opgelost en zijn representatief voor wat wiskundigen doen.

1. Een rationaal getal is een getal dat kan worden uitgedrukt als een breuk van twee gehele getallen. Bewijs dat de vierkantswortel van 2 geen rationaal getal is. Merk op dat de vierkantswortel van 2 op natuurlijke wijze ontstaat als men landmeet- en timmertechnieken toepast.
2. Een priemgetal is een positief geheel getal groter dan 1 waarvan de enige positieve gehele delers zichzelf en 1 zijn. Bewijs dat er een oneindig aantal priemgetallen zijn. De laatste jaren zijn zeer grote priemgetallen zeer nuttig gebleken bij het versleutelen van elektronische berichten.

Probleemoplossen

Het volgende diagram kan gebruikt worden om het voorstellen en oplossen van toegepaste wiskundeproblemen op K-12 niveau te bespreken. Dit diagram is vooral nuttig bij discussies over het huidige wiskundecurriculum voor K-12.

De zes geïllustreerde stappen zijn 1) Probleemstelling; 2) Wiskundig modelleren; 3) Een computationele of algoritmische procedure gebruiken om een computationeel of algoritmisch wiskundig probleem op te lossen; 4) Wiskundig “onmodelleren”; 5) Over de resultaten nadenken om te zien of het duidelijk omschreven Probleem is opgelost; en 6) Overdenken of de oorspronkelijke Probleemsituatie is opgelost. De stappen 5 en 6 omvatten ook het nadenken over verwante problemen en probleemsituaties die men zou willen aanpakken of die ontstaan zijn door het proces of de poging om het oorspronkelijke Duidelijk omschreven Probleem op te lossen of de oorspronkelijke Probleemsituatie op te lossen. Klik hier voor meer informatie over het oplossen van problemen.

Eindopmerkingen

Hier volgen vier zeer belangrijke punten die naar voren komen uit de beschouwing van het diagram in figuur 3 en eerder materiaal dat in deze sectie is gepresenteerd:

1. Wiskunde is een hulpmiddel om probleemsituaties in alle disciplines voor te stellen en te proberen op te lossen. Het is een interdisciplinair instrument en een interdisciplinaire taal.
2. Computers en rekenmachines zijn buitengewoon snel, nauwkeurig en in staat om stap 3 uit te voeren.
3. In ons huidige wiskundeprogramma voor K-12 leren we leerlingen het grootste deel van de tijd om stap 3 uit te voeren met behulp van de mentale en fysieke hulpmiddelen (zoals potlood en papier) die al honderden jaren worden gebruikt. We kunnen dit zien als het leren van leerlingen om te concurreren met machines, in plaats van te werken met machines.
4. Ons huidige wiskunde-onderwijssysteem op het PreK-12 niveau is onevenwichtig tussen lagere-orde kennis en vaardigheden (met veel te veel nadruk op stap 3 in het schema) en hogere-orde kennis en vaardigheden (alle andere stappen in het schema). Het is zwak in wiskunde als menselijke inspanning en als studiediscipline.

Er zijn drie krachtige veranderaars die uiteindelijk grote veranderingen in ons wiskunde-onderwijssysteem zullen vergemakkelijken en afdwingen.

• Hersenwetenschap, die in hoge mate wordt geholpen door hersenscan-apparatuur en het met de computer in kaart brengen en modelleren van hersenactiviteiten, draagt aanzienlijk bij aan ons begrip van hoe de hersenen wiskunde leren en hun wiskundige kennis en vaardigheden gebruiken.
• Computer- en informatietechnologie biedt krachtige hulpmiddelen voor veel verschillende onderzoeksgebieden (zoals hersenwetenschap), voor het wiskundeonderwijs (bijvoorbeeld door het gebruik van zeer interactieve, intelligente computerondersteunde leermethoden, misschien via internet), voor de wiskunde-inhoud (bijvoorbeeld computationele wiskunde) en voor het weergeven en automatiseren van de “procedures” bij het wiskundeonderwijs.
• De gestage groei van de totaliteit van wiskundige kennis en de toepassingen ervan om problemen in alle academische disciplines weer te geven en te helpen oplossen.

Top van pagina