Alai

Czym jest Matematyka? Sztuka historii Matematyka jako dyscyplina Piękno w matematyce ROZWIĄZYWANIE PROBLEMÓW Uwagi końcowe Czym jest Matematyka? Matematyka jest starą, szeroką i głęboką dyscypliną (dziedziną nauki). Ludzie pracujący nad poprawą edukacji matematycznej muszą zrozumieć „Czym jest matematyka?”

Sztuka historii

Matematyka jako formalny obszar nauczania i uczenia się została opracowana około 5000 lat temu przez Sumerów. Zrobili to w tym samym czasie, kiedy rozwinęli czytanie i pisanie. Jednak korzenie matematyki sięgają znacznie dalej niż 5 000 lat.

Throughout ich historii, ludzie stanęli w obliczu potrzeby pomiaru i komunikacji o czasie, ilości i odległości. Kość Ishango (zob. ahttp://www.math.buffalo.edu/mad/
Ancient-Africa/ishango.html i http://www.naturalsciences.be/expo/ishango/
en/ishango/riddle.html) to rękojeść narzędzia z kości mająca około 20 000 lat.

Zdjęcie poniżej przedstawia sumeryjskie żetony gliniane, których używanie rozpoczęło się około 11 000 lat temu (zob. http://www.sumerian.org/tokens.htm). Takie gliniane żetony były poprzednikiem czytania, pisania i matematyki.

Rozwój czytania, pisania i formalnej matematyki 5 000 lat temu umożliwił kodyfikację wiedzy matematycznej, formalne nauczanie matematyki i rozpoczął stałą akumulację wiedzy matematycznej.

Matematyka jako dyscyplina

Dyscyplina (zorganizowana, formalna dziedzina nauki) taka jak matematyka ma tendencję do bycia definiowaną przez rodzaje problemów, którymi się zajmuje, metody, których używa do rozwiązywania tych problemów i wyniki, które osiągnęła. Jednym ze sposobów zorganizowania tego zestawu informacji jest podzielenie go na następujące trzy kategorie (oczywiście, nakładają się one na siebie):

1. Matematyka jako ludzkie przedsięwzięcie. Na przykład, rozważyć matematyki pomiaru czasu, takich jak lata, sezony, miesiące, tygodnie, dni, i tak dalej. Lub rozważyć pomiar odległości, a różne systemy pomiaru odległości, które rozwinęły się na całym świecie. Albo pomyśl o matematyce w sztuce, tańcu i muzyce. Istnieje bogata historia ludzkiego rozwoju matematyki i matematycznych zastosowań w naszym nowoczesnym społeczeństwie.
2. Matematyka jako dyscyplina. Znasz wiele dyscyplin akademickich, takich jak archeologia, biologia, chemia, ekonomia, historia, psychologia, socjologia i tak dalej. Matematyka jest szeroką i głęboką dyscypliną, która wciąż się rozwija. Obecnie rozprawa doktorska w matematyce jest zazwyczaj wąsko skoncentrowana na definicjach, twierdzeniach i dowodach związanych z pojedynczym problemem w wąskim subpolu matematyki.
3. Matematyka jako interdyscyplinarny język i narzędzie. Podobnie jak czytanie i pisanie, matematyka jest ważnym składnikiem uczenia się i „robienia” (wykorzystywania swojej wiedzy) w każdej dyscyplinie akademickiej. Matematyka jest tak użytecznym językiem i narzędziem, że jest uważana za jedną z „podstaw” w naszym formalnym systemie edukacji.

W dużym stopniu uczniowie i wielu ich nauczycieli mają tendencję do definiowania matematyki w kategoriach tego, czego uczą się na kursach matematycznych, a te kursy mają tendencję do skupiania się na #3. Instrukcje i ocena koncentrują się na podstawowych umiejętnościach i na rozwiązywaniu stosunkowo prostych problemów z wykorzystaniem tych podstawowych umiejętności. Jak wynika z powyższej trójskładnikowej dyskusji, jest to tylko część matematyki.

Nawet w obrębie trzeciego składnika nie jest jasne, na co należy położyć nacisk w programie nauczania, instrukcjach i ocenianiu. Kwestia umiejętności podstawowych w porównaniu z umiejętnościami wyższego rzędu jest szczególnie ważna w edukacji matematycznej. Jak dużą część czasu przeznaczonego na edukację matematyczną należy poświęcić na pomoc uczniom w osiągnięciu wysokiego poziomu dokładności i automatyzmu w podstawowych umiejętnościach obliczeniowych i proceduralnych? Ile czasu powinno się poświęcić na umiejętności wyższego rzędu, takie jak stawianie problemów, reprezentacja problemów, rozwiązywanie złożonych problemów oraz przenoszenie wiedzy i umiejętności matematycznych na problemy z innych dziedzin niż matematyka?

Piękno w matematyce

Stosunkowo niewielu nauczycieli K-12 studiuje matematykę na tyle, by rozumieć i doceniać szerokość, głębię, złożoność i piękno tej dyscypliny. Matematycy często mówią o pięknie konkretnego dowodu lub wyniku matematycznego. Czy pamiętacie, aby któryś z waszych nauczycieli matematyki z K-12 kiedykolwiek mówił o pięknie matematyki?

G. H. Hardy był jednym z czołowych matematyków świata w pierwszej połowie XX wieku. W swojej książce „A Mathematician’s Apology” obszernie omawia różnice między matematyką czystą a stosowaną. Omawia dwa przykłady (pięknych) problemów czystej matematyki. Są to problemy, które niektórzy uczniowie szkół średnich i liceów mogliby z powodzeniem rozwiązać, ale są one zupełnie inne niż rodzaje matematyki poruszane w naszym obecnym programie nauczania K-12. Oba te problemy zostały rozwiązane ponad 2000 lat temu i są reprezentatywne dla tego, co robią matematycy.

1. Liczba racjonalna to taka, która może być wyrażona jako ułamek dwóch liczb całkowitych. Udowodnij, że pierwiastek kwadratowy z 2 nie jest liczbą racjonalną. Zauważ, że pierwiastek kwadratowy z 2 powstaje w naturalny sposób, gdy używamy technik geodezyjnych i stolarskich.
2. Liczba pierwsza to liczba całkowita dodatnia większa od 1, której jedynymi dzielnikami są ona sama i 1. Udowodnij, że istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych. W ostatnich latach, bardzo duże liczby pierwsze okazały się całkiem przydatne w szyfrowaniu wiadomości elektronicznych.

ROZWIĄZYWANIE PROBLEMÓW

Następujący diagram może być użyty do omówienia reprezentacji i rozwiązywania problemów matematyki stosowanej na poziomie K-12. Diagram ten jest szczególnie przydatny w dyskusjach na temat obecnego programu nauczania matematyki K-12.

Sześć zilustrowanych kroków to 1) Postawienie problemu; 2) Modelowanie matematyczne; 3) Użycie procedury obliczeniowej lub algorytmicznej do rozwiązania obliczeniowego lub algorytmicznego problemu matematycznego; 4) Matematyczne „odmodelowanie”; 5) Zastanowienie się nad wynikami, aby sprawdzić, czy jasno zdefiniowany problem został rozwiązany; oraz 6) Zastanowienie się, czy pierwotna sytuacja problemowa została rozwiązana. Kroki 5 i 6 obejmują również myślenie o powiązanych problemach i sytuacjach problemowych, którymi można by się zająć lub które powstały w wyniku procesu lub próby rozwiązania pierwotnego Jasno Zdefiniowanego Problemu lub rozwiązania pierwotnej Sytuacji Problemowej. Kliknij tutaj, aby uzyskać więcej informacji na temat rozwiązywania problemów.

Uwagi końcowe

Oto cztery bardzo ważne punkty, które wyłaniają się z rozważań nad diagramem na Rysunku 3 i wcześniejszym materiałem przedstawionym w tej sekcji:

1. Matematyka jest pomocą w reprezentowaniu i próbach rozwiązywania sytuacji problemowych we wszystkich dyscyplinach. Jest interdyscyplinarnym narzędziem i językiem.
2. Komputery i kalkulatory są niezwykle szybkie, dokładne i zdolne do wykonania Kroku 3.
3. Nasz obecny program nauczania matematyki K-12 spędza większość czasu na uczeniu uczniów wykonywania Kroku 3 przy użyciu umysłowych i fizycznych narzędzi (takich jak ołówek i papier), które były używane przez setki lat. Możemy myśleć o tym jako o uczeniu uczniów konkurowania z maszynami, a nie pracy z maszynami.
4. Nasz obecny system edukacji matematycznej na poziomie PreK-12 jest niezrównoważony pomiędzy wiedzą i umiejętnościami niższego rzędu (ze zbyt dużym naciskiem na Krok 3 w diagramie) a wiedzą i umiejętnościami wyższego rzędu (wszystkie pozostałe kroki w diagramie). Jest słaba w matematyce jako ludzkim przedsięwzięciu i jako dyscyplinie naukowej.

Istnieją trzy potężne czynniki zmian, które ostatecznie ułatwią i wymuszą poważne zmiany w naszym systemie edukacji matematycznej.

• Nauka o mózgu, która jest znacznie wspomagana przez sprzęt do skanowania mózgu oraz komputerowe mapowanie i modelowanie aktywności mózgu, znacznie zwiększa nasze zrozumienie tego, jak mózg uczy się matematyki i wykorzystuje matematyczną wiedzę i umiejętności.
• Technologia Komputerowa i Informatyczna dostarcza potężnych pomocy do wielu różnych obszarów badawczych (takich jak Nauka o Mózgu), do nauczania matematyki (na przykład, poprzez wykorzystanie wysoce Interaktywnego Inteligentnego Nauczania Wspomaganego Komputerowo, być może dostarczanego przez Internet), do treści matematyki (na przykład, Matematyka Obliczeniowa), oraz do reprezentowania i automatyzacji „procedur” części robienia matematyki.
• Stały wzrost całości wiedzy matematycznej i jej zastosowań do reprezentowania i pomocy w rozwiązywaniu problemów we wszystkich dyscyplinach akademickich.

Top of Page

.