Alai

W analizie matematycznej norma jednostajna (lub supnorma) przypisuje funkcjom związanym o wartości rzeczywistej lub zespolonej f zdefiniowanym na zbiorze S nieujemną liczbę

Obwód kwadratu to zbiór punktów w R2, w których supnorma jest równa stałej dodatniej.

‖ f ‖ ∞ = ‖ f ‖ ∞ , S = sup { | f ( x ) | : x ∈ S } . {displaystyle \\|f(x)\\\}= = sup \f(x)\prawda|:x w S \,\prawda}.} Norma ta jest również nazywana normą supremum, normą Czebyszewa, normą nieskończoności lub, gdy supremum jest w rzeczywistości maksimum, normą max. Nazwa „norma jednostajna” pochodzi od tego, że ciąg funkcji { f n } {{displaystyle {f_{n}}} . pod metryką wyprowadzoną z normy jednostajnej wtedy i tylko wtedy, gdy f n {displaystyle f_{n}} jest zbieżna do f {displaystyle f} równomiernie.

Metryka generowana przez tę normę nazywana jest metryką Czebyszewa, od nazwiska Pafnuty Czebyszewa, który jako pierwszy ją systematycznie badał.

Jeśli dopuścimy funkcje niezwiązane, to wzór ten nie daje normy ani metryki w ścisłym sensie, choć otrzymana tzw. metryka rozszerzona nadal pozwala określić topologię na danej przestrzeni funkcyjnej.

Jeśli f jest funkcją ciągłą na przedziale zamkniętym, lub ogólniej na zbiorze zwartym, to jest ona ograniczona, a supremum w powyższej definicji jest osiągane przez twierdzenie Weierstrassa o wartościach ekstremalnych, więc możemy zastąpić supremum przez maksimum. W tym przypadku normę nazywamy również normą maksymalną.W szczególności dla przypadku wektora x = ( x 1 , … , x n ) {{displaystyle x=(x_{1},x_{n})} w przestrzeni współrzędnych skończonego wymiaru przyjmuje postać

‖ x ‖ ∞ = max { | x 1 | , … , | x n | } . {{displaystyle }=max}{|x_{infty},\dots ,|x_{n}|}.}

Powód dla indeksu „∞” jest taki, że zawsze, gdy f jest ciągła

lim p → ∞ ‖ f ‖ p = ‖ f ‖ ∞ , { {displaystyle \lim _{p}rightarrow \infty } } }}

gdzie

‖ f ‖ p = ( ∫ D | f | p d μ ) 1 / p {{displaystyle \\>f|{p}=left(\int _{D}left|f|f|^{p}},d\u \p})^{1/p}}

gdzie D jest dziedziną f (a całka jest sumą, jeśli D jest zbiorem dyskretnym).

Funkcja binarna

d ( f , g ) = ‖ f – g ‖ ∞ {{displaystyle d(f,g)=|f-g|_{infty }}

jest wtedy metryką na przestrzeni wszystkich funkcji ograniczonych (i, oczywiście, dowolnych jej podzbiorów) na danej dziedzinie. Ciąg { fn : n = 1, 2, 3, … } zbiega jednostajnie do funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy

lim n → ∞ ‖ f n – f ‖ ∞ = 0. { lim _{nrightarrow \infty }||f_{n}-f||{infty }=0.\Możemy zdefiniować zbiory domknięte i domknięcia zbiorów względem tej topologii metrycznej; zbiory domknięte w normie jednostajnej nazywamy czasem jednostajnie domkniętymi, a domknięcia jednostajnymi domknięciami. Jednolite domknięcie zbioru funkcji A jest przestrzenią wszystkich funkcji, które mogą być przybliżone przez ciąg funkcji jednolicie zbieżnych na A. Na przykład, jedno z twierdzeń Stone’a-Weierstrassa mówi, że zbiór wszystkich funkcji ciągłych na {{displaystyle } jest jednorodnym zamknięciem zbioru wielomianów na {{displaystyle } .

Dla złożonych funkcji ciągłych na zwartej przestrzeni, to zamienia ją w algebrę C*.

.