Macierz, która jest podobna do macierzy trójkątnej nazywana jest trójkątną. Abstrakcyjnie jest to równoważne stabilizacji flagi: macierze trójkątne górne to właśnie te, które zachowują standardową flagę, która jest dana przez standardową uporządkowaną bazę ( e 1 , … , e n ) { { e_{1},e_{n})}
i wynikowa flaga 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1 , … , e n ⟩ = K n . {{displaystyle 0< ⟩ < ⟩ < ⟩ < ⟩ < ⟩ < ⟩ < ⟩ < ⟩ < ⟩ < ⟩ < ⟨ e 1 , ↪Pe_2} ⟩ < ⋨ e 1 , ⟩ , ⟩ = K^{n}.} Wszystkie flagi są sprzężone (ponieważ ogólna grupa liniowa działa przechodnio na bazach), więc każda macierz, która stabilizuje flagę jest podobna do tej, która stabilizuje standardową flagę.
Każda złożona macierz kwadratowa jest triangularyzowalna. W rzeczywistości, macierz A nad polem zawierającym wszystkie wartości własne A (na przykład, dowolna macierz nad algebraicznie zamkniętym polem) jest podobna do macierzy trójkątnej. Można to udowodnić przez indukcję na fakcie, że A ma wektor własny, przez wzięcie przestrzeni ilorazowej przez wektor własny i indukcję, aby pokazać, że A stabilizuje flagę, a zatem jest triangularyzowalna w odniesieniu do podstawy dla tej flagi.
Bardziej precyzyjne stwierdzenie jest podane przez Jordan normal form theorem, który stwierdza, że w tej sytuacji A jest podobna do górnej trójkątnej macierzy o bardzo szczególnej formie. Prostszy wynik triangularyzacji jest jednak często wystarczający i w każdym przypadku używany do udowodnienia twierdzenia Jordana o postaci normalnej.
W przypadku macierzy złożonych można powiedzieć więcej o triangularyzacji, a mianowicie, że dowolna macierz kwadratowa A ma rozkład Schura. Oznacza to, że A jest unitarnie równoważna (tzn. podobna, używając macierzy jednostkowej jako zmiany podstawy) do macierzy trójkątnej górnej; wynika to z przyjęcia podstawy hermitowskiej dla chorągiewki.
Jednoczesna trójkątnośćEdit
Zbiór macierzy A 1 , … , A k {{1},∗ ,A_{k}}
mówi się, że są one jednocześnie trójkątne, jeśli istnieje podstawa, na której wszystkie są trójkątne górne; równoważnie, jeśli są one trójkątne górne przez jedną macierz podobieństwa P. Taki zbiór macierzy łatwiej zrozumieć, rozważając algebrę macierzy, którą generuje, czyli wszystkie wielomiany na macierzach A i , {{displaystyle A_{i},}
oznaczane K . {displaystyle K.}
Jednoczesna trójkątność oznacza, że algebra ta jest sprzężona do podalgebry Lie macierzy górnych trójkątów i jest równoważna temu, że algebra ta jest podalgebrą Lie podalgebry borelowskiej.
Podstawowym wynikiem jest to, że (nad algebraicznie zamkniętym polem), współzmienne macierze A , B {{displaystyle A,B}}
lub ogólniej A 1 , … , A k {displaystyle A_{1},̇ A_{k}}
są jednocześnie trójkątne. Można to udowodnić pokazując najpierw, że macierze komutujące mają wspólny wektor własny, a następnie indukując na wymiar jak poprzednio. Zostało to udowodnione przez Frobeniusa, począwszy od 1878 roku dla współzmiennej pary, jak omówiono w commuting matrices. Jeśli chodzi o pojedynczą macierz, nad liczbami zespolonymi mogą one być triangularyzowane przez macierze jednostkowe.
Fakt, że macierze komutujące mają wspólny wektor własny można interpretować jako wynik Nullstellensatz Hilberta: Macierze komutujące tworzą komutatywną algebrę K {wymiarową K}
nad K {wymiarową K}
, którą można interpretować jako rozmaitość w k-wymiarowej przestrzeni afinicznej, a istnienie (wspólnej) wartości własnej (a więc i wspólnego wektora własnego) odpowiada temu, że rozmaitość ta ma punkt (jest niepusta), co jest treścią (słabego) Nullstellensatz. W ujęciu algebraicznym, operatory te odpowiadają reprezentacji algebry wielomianów w k zmiennych.
Uogólnia to twierdzenie Lie, które pokazuje, że dowolna reprezentacja rozwiązywalnej algebry Lie jest jednocześnie rozwiązywalna górnym trójkątem, przy czym przypadek macierzy komutujących jest przypadkiem abelianowej algebry Lie, przy czym abelian jest a fortiori rozwiązywalny.
Bardziej ogólnie i precyzyjnie, zbiór macierzy A 1 , … , A k {{displaystyle A_{1}},\a_{k}}
jest jednocześnie trójkątny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz p ( A 1 , … , A k ) {displaystyle p(A_{1},́ldots ,A_{k})}
jest nilpotentna dla wszystkich wielomianów p w k zmiennych niekomutujących, gdzie {displaystyle }
jest komutatorem; dla komutujących A i {{displaystyle A_{i}}
komutator znika, więc to się trzyma. Zostało to udowodnione w (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951); krótki dowód jest podany w (Prasolov 1994, str. 178-179). Jeden kierunek jest oczywisty: jeśli macierze są jednocześnie trójkątne, to {\i1}przykłady}.
jest ściśle trójkątna górna (a więc nilpotentna), co jest zachowane przez mnożenie przez dowolne A k {{k}}.
lub ich kombinację – nadal będzie miał 0 na przekątnej w bazie triangularyzującej.